高考数学文化素养型题.pdf
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1、数学题 -文化素养型 1. 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现 存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相 乘也. 又以高乘之,三十六成一 . 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高 h, 计算其体积 V的近似公式 V 1 36L 2h. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3. 那么, 近似公式 V 2 75L 2h 相当于将圆锥体积公式中的近似取 为( ) A. 22 7 B. 25 8 C.157 50 D. 355 113 解析:由题意可知: L2r , 即 r L 2, 圆锥体积 V 1 3Sh 1 3 r 2 h 1
2、3 L 2 2 h 1 12L 2 h 2 75L 2h, 故 1 12 2 75, 25 8 , 故选 B. 【答案】 B 2. 如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白 色部分位于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的 概率是() A 1 4 B 8 C 1 2 D 4 【解析】设正方形边长为2, 则圆半径为1 则正方形的面积为224, 圆的面积为 2 1 , 图中黑色部分的概率为 2 则此点取自黑色部分的概率为 2 48 故选 B 【答案】B 4. 九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 阳马
3、, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图, 在阳马 PABCD 中, 侧棱 PD 底面 ABCD , 且 PD CD , 过棱 PC的中 点 E, 作 EFPB交 PB于点 F, 连接 DE 、DF 、BD 、BE . (1) 证明:PB平面DEF. 试判断四面体 DBEF是否为鳖臑 . 若是, 写出其每个面 的直角 ( 只需写出结论 );若不是,说明理由; (2) 若面 DEF与面 ABCD 所成二面角的大小为 3 , 求DC BC 的值. 解析:法一(1) 证明因为 PD 底面 ABCD , 所以 PD BC , 由底面 ABCD为长方形, 有BCCD, 而PDCDD, 所以
4、BC 平面 PCD . 而 DE ? 平面 PCD , 所以 BC DE . 又因为 PD CD , 点 E是 PC的中点,所以 DE PC . 而 PC BC C, 所以 DE 平面 PBC . 而 PB ? 平面 PBC , 所以 PB DE . 又 PB EF , DE EF E, 所以 PB 平面 DEF . 由 DE 平面 PBC , PB 平面 DEF , 可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角 形, 即四面体 BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 DEB , DEF , EFB , DFB . (2) 解如图, 在面PBC内, 延长BC与FE交于点G, 则 DG是平面
5、DEF与平面 ABCD 的交线 . 由(1) 知, PB 平面 DEF , 所以 PB DG . 又因为 PD 底面 ABCD , 所以 PD DG , 而 PD PB P, 所 以 DG 平面 PBD . 故BDF是面 DEF与面 ABCD 所成二面角的平面角, 设 PD DC 1, BC , 有 BD 1 2, 在 RtPDB中, 由DFPB, 得DPFFDB 3 , 则 tan 3 tan DPF BD PD 1 2 3, 解得 2. 所以 DC BC 1 2 2 . 故当面 DEF与面 ABCD 所成二面角的大小为 3 时, DC BC 2 2 . 法二(1) 证明如图, 以 D为原点
6、,射线 DA , DC , DP 分别为 x, y, z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 . 设 PDDC1,BC, 则D(0 , 0 , 0) ,P(0, 0 , 1) , B( , 1 , 0) , C(0, 1 , 0) , PB (, 1 , 1), 点 E是 PC的中点,所以 E 0, 1 2, 1 2 , DE 0,1 2, 1 2 , 于是PB DE0, 即 PB DE . 又已知 EF PB , 而 DE EF E, 所以 PB 平面 DEF . 因PC (0 , 1 , 1) , DEPC 0, 则 DE PC , 所以 DE 平面 PBC . 由 DE 平面 PBC , P
7、B 平面 DEF , 可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角 形, 即四面体 BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 DEB , DEF , EFB , DFB . (2) 解由 PD 平面 ABCD , 所以DP (0, 0 , 1) 是平面 ABCD 的一个法向量; 由(1) 知, PB 平面 DEF , 所以BP (, 1, 1) 是平面 DEF的一个法向 量. 若面 DEF与面 ABCD 所成二面角的大小为 3 , 则 cos 3 BP DP | BP | | DP | 1 22 1 2, 解得2. 所以 DC BC 1 2 2 . 故当面 DEF与面 ABCD 所成二面角的大
8、小为 3 时, DC BC 2 2 . 5. 宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴卷中“菱草形段” 第一个问题,“今有菱草六百八十束,欲令落一形 (同垛) 之, 问底子 ( 每层三角形边菱草束数,等价于层数 )几何?”中探讨了“垛积术”中的落一 形垛(“落一形”即是指顶上一束,下一层三束,再下一层 6 束, , 成三 角锥的堆垛,故也称三角垛,如图, 表示第二层开始的每层菱草束数), 则 本问题中三角垛底层菱草总束数为_. 解析:由题意,第n层菱草数为 12nn(n1) 2 , 136 n(n1) 2 680, 即为 1 2 1 6n(n1)(2n1) 1 2n(n1) 1 6n(
9、n1)( n2)680, 即有 n( n1)( n2) 151617, n15, n(n1) 2 120. 【答案】 120 6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县 ) 人, 他在所著的 数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法 . 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入 n,x的值分别为 3, 2 , 则输出v的值为 ( ) A.35 B.20 C.18 D.9 解析:按照图中的程序计算,当 i 2 时, 得 v4;当 i 1 时, 得 v24 19;当 i 0 时, 得 v29018;当 i 1 时, 直接输出 v18,
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