高考数学椭圆性质.pdf
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1、第 1 页 椭圆与双曲线的对偶性质- (必背的经典结论) 椭圆 1.点 P 处的切线PT 平分 PF1F2在点 P处的 外角 . 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5.若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 上,则过 0 P的椭圆的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 6.若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 外 , 则过 Po
2、作椭圆的两条切线切点为P1、P2, 则 切点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab . 7.椭圆 22 22 1 xy ab (a b0)的左右焦点分别为F1,F2,点 P 为椭圆上任意一点 12 F PF, 则椭圆的焦点角形的面积为 12 2 tan 2 F PF Sb. 8.椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的焦半径公式: 10 |MFaex, 20 |MFaex( 1( ,0)Fc, 2( ,0) Fc 00 (,)M xy). 9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线
3、于M、N 两点,则 MF NF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M, A2P 和 A1Q 交于点 N, 则 MFNF. 11.AB是椭圆 22 22 1 xy ab 的不平行于对称轴的弦,M),( 00 yx为 AB的中点,则 2 2OMAB b kk a , 即 0 2 0 2 ya xb K AB 。 12.若 000 (,)P xy在 椭 圆 22 22 1 xy ab 内 ,则 被Po所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 13.若 000 (
4、,)P xy在 椭 圆 22 22 1 xy ab 内 ,则 过Po的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 第 2 页 22 00 2222 x xy yxy abab . 双曲线 1.点 P 处的切线PT 平分 PF1F2在点 P 处的 内角 . 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长 轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .(内切: P 在右支;外切: P 在左支) 5.若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab (
5、a0,b0)上,则过 0 P的双曲线的切线方 程是 00 22 1 x xy y ab . 6.若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b 0)外, 则过Po 作双曲线的两条 切线切点为P1、P2, 则切点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab . 7.双曲线 22 22 1 xy ab (a0,bo)的左右焦点分别为F1, F2, 点 P 为双曲线上 任意一点 12 F PF, 则双曲线的焦点角形的面积为 12 2 t 2 F PF Sb co. 8.双曲线 22 22 1 xy ab (a0,bo)的焦半径公式:( 1( ,0)Fc,
6、2( ,0) Fc 当 00 (,)M xy在右支上时, 10 |MFexa, 20 |MFexa. 当 00 (,)M xy在左支上时, 10 |MFexa, 20 |MFexa 9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、 Q 两点, A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N 两点,则 MF NF. 10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶 点,A1P 和 A2Q 交于点 M, A2P 和 A1Q 交于点 N, 则 MF NF. 11.AB是双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b 0)
7、的不平行于对称轴的弦,M),( 00 yx为 AB 的中点,则 0 2 0 2 ya xb KK ABOM , 即 0 2 0 2 ya xb KAB。 12.若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b 0)内,则被 Po所平分的中点弦的 方程是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 第 3 页 13.若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b 0)内,则过 Po的弦中点的轨迹方 程是 22 00 2222 x xy yxy abab . 椭圆与双曲线的对偶性质- (会推导的经典结论) 高三数学备课组 椭圆 1
8、.椭圆 22 22 1 xy ab ( abo)的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) Aa, 与 y 轴平行的 直线交椭圆于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 2.过椭圆 22 22 1 xy ab (a0, b 0)上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直 线交椭圆于B,C 两点,则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y (常数) . 3.若P 为椭圆 22 22 1 xy ab (a b0)上异于长轴端点的任一点,F1, F2是焦点 , 12 PF F, 21 PF F, 则tant 22 ac
9、 co ac . 4.设椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上 任意一点,在 PF1F2中, 记 12 F PF, 12 PF F, 12 F F P, 则有 sin sinsin c e a . 5.若椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0)的左、右焦点分别为F1、F2, 左准线为L, 则当 0 e21时, 可在椭圆上求一点P, 使得 PF1是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 . 6.P 为椭圆 22 22 1 xy ab ( ab0)上任一点 ,F1,F2为二焦点,A 为椭圆内一定点, 则 211 2| | 2|
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