高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(解析版).pdf
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1、第1页(共 24页) 高考数学模拟试卷(理科) (5 月份) 一、选择题: 本大题共12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1已知复数z=1+i, 则的值等于() Ai B i C1 D 1 2设全集 U= 0, 1, 2 , A= x| x2+ax+b=0, 若?UA= 0, 1, 则实数 a的值为 () A2 B 2 C4 D 4 3阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序若输入的n=3, 则输出的结果为() A6 B7 C8 D9 4Sn是等比数列 an的前 n 项和, 若 S2, S4, S3成等差数列,则数列 an 的公比 q
2、等 于() AB2 C 2 D 5已知双曲线的离心率为, 一个焦点到一条渐近线的距离为2, 则该双曲线的方程可 以是() Ax 2 =1 Bx2=1 C =1 D =1 6设 x, y 满足条件且 z=x+y+a(a 为常数)的最小值为 4, 则实数 a 的 值为() AB2 C4 D5 第2页(共 24页) 7现有 A, B 两个箱子,A 箱装有红球和白球共6, B 箱装有红球4个、白球1 个、黄 球 1 个现甲从 A 箱中任取 2 个球,乙从 B 箱中任取1 个球 若取出的3 个球恰有两球颜 色相同,则甲获胜,否则乙获胜为了保证公平性,A 箱中的红球个数应为() A2 B3 C4 D5 8
3、已知命题p:y=sin(x )在( 0, )上是减函数;命题q:“ a=” 是“ 直线 x=为 曲线 f(x)=sinx+acosx的一条对称轴” 的充要条件则下列命题为真命题的是() Apq B p q C p q D p q 9在空间直角坐标系Oxyz 中, 一个四面体的顶点坐标分别是( 0, 0, 2) , (2, 0, 0) , (2, 1, 1) , (0, 1, 1) 若画该四面体三视图时,正视图以zOy 平面为投影 面,则得到的侧视图是() A B C D 10过抛物线C:y 2=2px (p 0)的焦点 F 且倾斜角为45 的直线交 C 于 A, B 两点, 若 以 AB 为直
4、径的圆被x 轴截得的弦长为16, 则 p 的值为() A8 B8C12 D16 11已知四面体ABCD 的一条棱长为 a, 其余各棱长均为2, 且所有顶点都在表面积 为 20的球面上,则 a的值等于() A3 B 2C3D3 12已知点 A(1, 1) , 点 P 在曲线 f(x)=x 33x2+3x(0x2)上, 点 Q 在直线 y=3x 14 上,M 为线段 PQ 的中点,则| AM | 的最小值为() ABC D 二、填空题:本大题共4 小题,每小题 5 分 13 已知 ABC 为等边三角形,在方向上的投影为2,=3,则=_ 14 (1+2x) (x+) 5 展开式中x 的系数为 _ 1
5、5已知函数f( x)= 若函数 g (x)=f(x)x 恰有两个零点,则 实数 a 的取值范围是 _ 16 若数列 an 满足+ + =, 且对任意的nN*, 存在 mN*, 使 得不等式anam恒成立,则 m 的值是 _ 三、解答题:本大题共5 小题,满分 60 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17如图,在 ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为a, b, c, a=b(sinC+cosC) ( )求 ABC ; 第3页(共 24页) ( )若 A=, D 为 ABC 外一点,DB=2 , DC=1 , 求四边形 ABDC 面积的最大 值 18某职业学校有2000 名学生,
6、校服务部为了解学生在校的月消费情况, 随机调查了100 名学生,并将统计结果绘成直方图如图: ( )试估计该校学生在校月消费的平均数; ( )根据校服务部以往的经验,每个学生在校的月消费金额x(元)和服务部可获得利 润 y(元) , 满足关系式:根据以上抽样调查数据,将频率 视为概率,回答下列问题: ( )对于任意一个学生,校服务部可获得的利润记为 , 求 的分布列及数学期望 ( )若校服务部计划每月预留月利润的, 用于资助在校月消费低于400 元的学生,那 么受资助的学生每人每月可获得多少元? 19 如图, 四棱锥 PABCD 中, PA平面 ABCD , AD BC, PA=3, AD=4
7、 , AC=2, ADC=60 , E 为线段 PC 上一点,且= ( )求证: CDAE; ( )若平面 PAB平面 PAD, 直线 AE 与平面 PBC 所成的角的正弦值为, 求 的 值 第4页(共 24页) 20已知点F(1, 0) , 点 P 在圆 E: ( x+1) 2 +y 2=16 上, 线段 PF 的垂直平分线交 PE 于 点 M记点 M 的轨迹为曲线 过 x 轴上的定点Q(m, 0) (m2)的直线l 交曲线 于 A, B 两点 ( )求曲线 的方程; ( ) 设点 A 关于 x 轴的对称点为A , 证明:直线 A B 恒过一个定点S, 且| OS| ?| OQ| =4 21
8、已知函数f(x)=+(a 1)x+lnx ( )若 a 1, 求函数 f( x)的单调区间; ( )若 a1, 求证: (2a1)f( x) 3e a3 四.请考生在第22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分作答 时请写清题号 选修 4-1:几何证明选讲 22如图,已知 A 和 B 的公共弦 CD 与 AB 相交于点 E, CB 与 A 相切, B 半径 为 2, AE=3 ( )求弦 CD 的长; ( ) B 与线段 AB 相交于点 F, 延长 CF 与 A 相交于点G, 求 CG 的长 选修 4-4:坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线 C:
9、 (为参数), 以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ( )求曲线 C 的极坐标方程; ( )若点 A, B 为曲线 C 上的两点,且 OA OB, 求| OA | ?| OB| 的最小值 选修 4-5:不等式选讲 24已知函数f(x)=| 2x+1| | xa| (a0) ( )当 a=1 时,求不等式f(x) x 的解集; ( )当 x时,不等式 f(x)+t2+2t+30 对任意 tR 恒成立,求实数 a 的取值范 围 第5页(共 24页) 市高考数学模拟试卷(理科) (5 月份) 参考答案与试题解析 一、选择题: 本大题共12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分
10、在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1已知复数z=1+i, 则 的值等于() Ai B i C1 D 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把 z=1+i 代入, 然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解:数z=1+i, =, 故选: A 2设全集 U= 0, 1, 2 , A= x| x2+ax+b=0, 若?UA= 0, 1, 则实数 a的值为 () A2 B 2 C4 D 4 【考点】 补集及其运算 【分析】 根据补集关系确定方程有两个相等的实根2, 进行求解即可 【解答】 解: ?UA= 0, 1 , A= 2 , 即方程 x2+ax+b=0
11、有两个相等的实根 2, 则=2, 即 a=4, 故选: D 3阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序若输入的 n=3, 则输出的结果为() A6 B7 C8 D9 第6页(共 24页) 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算变量n 的值,满足 条件时退出循环,输出相应的i 的值,模拟程序的运行过程,可得答案; 【解答】 解:模拟执行程序,可得 n=3, i=0 不满足条件n 是偶数,n=10, i=1 不满足条件n=1, 执行循环体,满足条件n 是偶数,n=5, i=2 不满足条件n=1, 执行循环体,不满足条件n 是偶数,n=16, i=3 不满
12、足条件n=1, 执行循环体,满足条件n 是偶数,n=8, i=4 不满足条件n=1, 执行循环体,满足条件n 是偶数,n=4, i=5 不满足条件n=1, 执行循环体,满足条件n 是偶数,n=2, i=6 不满足条件n=1, 执行循环体,满足条件n 是偶数,n=1, i=7 满足条件n=1, 退出循环,输出 i 的值为 7 故选: B, 4Sn是等比数列 an的前 n 项和, 若 S 2, S4, S3成等差数列, 则数列 an 的公比 q 等 于() A B2 C 2 D 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等差数列与等比数列的通项公式、前n 项和公式即可得出 【解答】 解: S2,
13、 S4, S3成等差数列, 2S4=S3+S2, 2a1(1+q+q2+q3)=a1(2+2q+q2) , 化为: 1+2q=0, 解得 q= 故选: D 5已知双曲线的离心率为, 一个焦点到一条渐近线的距离为 2, 则该双曲线的方程可 以是() Ax 2 =1 Bx2=1 C =1 D =1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据一个焦点到一条渐近线的距离为2, 离心率的值,建立方程关系求出a, b 的值即可得到结论 【解答】 解:设双曲线的一个焦点为F(c, 0) , 双曲线的一条渐近线为y=, 取 bx ay=0, 所以焦点到渐近线的距离d=2, 离心率e=, c=, 第7页(共 2
14、4页) 则 c 2=a2 +b 2, 即 3a2=a2+4, 即 2a2=4, 则 a2 =2, 则该双曲线的方程可以是=1, 故选: C 6设 x, y 满足条件且 z=x+y+a(a 为常数)的最小值为 4, 则实数 a 的 值为() AB2 C4 D5 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案 【解答】 解:由约束条件作出可行域如图, 化目标函数z=x+y+a 为 y=x+za, 由图可知,当直线 y=x+z a过点 A(2, 0)时,直线在 y 轴上的截距最小, z 有最小
15、值为2+0+a=4, 即 a=2 故选: B 7现有 A, B 两个箱子,A 箱装有红球和白球共6, B 箱装有红球4个、白球1 个、黄 球 1 个现甲从 A 箱中任取 2 个球,乙从 B 箱中任取1 个球 若取出的3 个球恰有两球颜 色相同,则甲获胜,否则乙获胜为了保证公平性,A 箱中的红球个数应为() A2 B3 C4 D5 【考点】 概率的意义 【分析】 取出的 3 个球中有两个颜色相同包括:从A 箱取出 2 个红球从 B 箱中取出的是白 球或黄球;从A 箱取出的是白球从B 箱中取出红球或黄球;从A 箱中取出一个红球一个白 球从 B 箱中取出是黄球,这个事件的概率是 【解答】 解:设 A
16、 箱中有 x 个红球,则有(6x)个白球,从 6 个球任取2个共有 C62=15 种, 取出的 3 个球中有两个颜色相同包括: 第8页(共 24页) 从 A 箱取出 2 个红球从B 箱中取出的是白球或黄球,其概率为2, 从 A 箱取出的是白球从B 箱中取出红球或黄球,其概率为(+) , 从 A 箱中取出一个红球一个白球从B 箱中取出是黄球,期概率为(+) , 故 2+(+)+(+)=, 解得 x=5, 故答案为: 5 8已知命题p:y=sin(x)在( 0, )上是减函数;命题q:“ a=” 是“ 直线 x=为 曲线 f(x)=sinx+acosx的一条对称轴” 的充要条件则下列命题为真命题的
17、是() Apq B p q C p q D p q 【考点】 复合命题的真假 【分析】 分别判断出p, q 的真假,从而判断出复合命题的真假 【解答】 解: 0x , x, y=sin(x)在( 0, )上是增函数, 命题 p 是假命题; 若 a= , 则 f(x)=sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2sin( x+) , 对称轴 x+=k +, x=k +, 是充分条件, 若直线 x=为曲线 f(x)=sinx+acosx 的一条对称轴, 则 f(x)=f(+x)当 x=即 f( 0)=f () f(0)=a=f( )= +, 解得 a=, 故命题 q 是真命题; 则命题 p q
18、 是真命题, 故选: C 9在空间直角坐标系Oxyz 中, 一个四面体的顶点坐标分别是( 0, 0, 2) , (2, 0, 0) , (2, 1, 1) , (0, 1, 1) 若画该四面体三视图时,正视图以zOy 平面为投影 面,则得到的侧视图是() 第9页(共 24页) ABCD 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 由题意,利用空间直角坐标系,借助于正方体在坐标系中画出几何体,再画出 它的侧视图 【解答】 解:由题意,画出直角坐标系,在坐标系中各点对应位置如图 所示; 以平面 zOy 为投影面,得到的侧视图如图 所示: 故选: C 10过抛物线C:y 2=2px (p 0)的焦点
19、F 且倾斜角为45 的直线交 C 于 A, B 两点, 若 以 AB 为直径的圆被x 轴截得的弦长为16, 则 p 的值为() A8 B8C12 D16 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点,设出直线AB 的方程,代入抛物线的方程,运用韦达定理 和抛物线的定义,根据以 AB 为直径的圆被x 轴截得的弦长为16, 即可得到所求值 【解答】 解:抛物线y2=2px 的焦点 F 为( , 0) , 设直线 AB 的方程为y0=x, 即为 y=x , 代入抛物线的方程,可得 x 23px+ =0, 设 A(x1, y1) , B(x2, y2) , 则 x1 +x 2=3p, x1x
20、2=, 第10页(共 24页) y 1 +y 2=2p 由抛物线的定义可得,| AB | =x1+x2+p=4p 以 AB 为直径的圆被x 轴截得的弦长为16, 4p2=(8 ) 2 +p 2, p=8 故选: A 11已知四面体ABCD 的一条棱长为 a, 其余各棱长均为2, 且所有顶点都在表面积 为 20的球面上,则 a的值等于() A3 B 2C3D3 【考点】 球内接多面体 【分析】 由题意画出几何体的图形,推出四面体的外接球的球心的位置,利用球的半径建 立方程,即可求出a 的值 【解答】 解:表面积为20的球的半径为 画出几何体的图形,BC=a, BC 的中点为 O, 连接 AO ,
21、 DO, 则 AO BC, DO BC, BC平面 AOD , 取 AD 的中点 E, 则 OEAD , 球的球心在AD 的中点 E 与 O 的连线上, 设球心为 G, OA=OD= , AD=2, OE= 设球的半径为R, GE=x , 则 R2=5=3+x2= +(x) 2, x= , a=3 故选: C 12已知点 A(1, 1) , 点 P 在曲线 f(x)=x 33x2+3x(0x2)上, 点 Q 在直线 y=3x 14 上,M 为线段 PQ 的中点,则| AM | 的最小值为() ABC D 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 第11页(共 24页) 【分析】 求出 f(x)
22、的导数,令导数为3, 求得切线的方程,以及中点 M 所在直线的方 程,运用点到直线的距离公式求出A 到它们的距离,即可得到最小值 【解答】 解: f(x)=x 33x2+3x 的导数为 f(x)=3x2 6x+3, 令 f( x)=3, 解得 x=0 或 2, 可得与直线y=3x 14 平行, 且与 y=f( x)图象相切的直线为y=3x 或 y=3x4, 可得中点M 所在直线的方程为y=3x7 或 y=3x9, 由图象可得A 到直线 y=3x7 的距离为=, A 到直线 y=3x 9 的距离为 = 即有 | AM | 的最小值为, 故选: B 二、填空题:本大题共4 小题,每小题 5 分 1
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