高考数学空间向量与立体几何总复习.pdf
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1、空间向量与立体几何总复习 一、知识网络构建 二、课标及考纲要求 空 间 向 量 与 立 体 几 空间 向量 及其 运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程 了解空间向量的概念、基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解 及其坐标表示 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量 的共线与垂直 空间 向量 理解直线的方向向量与平面的法向量 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系 空间向量的定 义及其运算 空间向量运算的几何表示 (如平行四边形法则) 用空间向量表示 点、线、面等元素 建立空间图形与 空间向量的联系 利用空间向量运算
2、解决立体几何问题 空间向量运算的坐标表示 (加减法、数乘、数量积) 空间向量 定义 运算 坐标表示 加法 减法 数量积 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 垂直关系 平行关系 空间距离 空间角 何的运 用 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方 法在研究几何问题中的作用 三、知识要点及考点精析 (一)空间向量及其运算 1空间向量的概念 在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模 还需要掌握的几个相关的概念包括相等向量、零向量、共线向量等 2空间向量的线性运算 (1)空间向量的加法、减法和数乘
3、运算 平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减) 法运算 加法 运算对于有限个向量求和,交换相加向量的顺序其和不变三个不共面的向量的和等于以 这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量加法和数乘运算满足运算律: 交换律,即a+ b = b+ a; 结合律,即()()a+ bcab+ c; 分配律,即()a =a+a及()a + bab(其中,均为实数) (2)空间向量的基本定理 共线向量定理:对空间向量,ab(0),bab的充要条件是存在实数,使 a =b 共面向量定理: 如果空间向量 ,ab不共线, 则向量 c与向量a,b共面的充要条件是, 存在惟一的一对实数
4、xy, , 使c = xya +b 空间向量基本定理:如果三个向量a, b, c不共面,那么对空间任一向量p, 存在 有序实数组x,y,z, 使xyzp =a +b + c其中, ,abc是空间的一个基底,a, b, c都叫做基向量,该定理可简述为:空间任一向量p都可以用一个基底, ,abc惟 一线性表示(线性组合) (3)两个向量的数量积 两个向量的数量积是a?b= |a|b|cos, 数量积有如下性质:a, b, c a?e= |a|cos(e为单位向量) ; aaa?b=0; a?a=|a|2; |a?b| a|b| 数量积运算满足运算律: 交换律,即a?b= b?a; 与数乘的结合律,
5、即(a)?b=(a?b) ; 分配律,即(a+b)?c =a?c +b?c 3空间向量的坐标运算 ( 1 ) 给 定 空 间 直 角 坐 标 系xyzO和 向 量a,存 在 惟 一 的 有 序 实 数 组 使 123 aaaa =i +j +k, 则 123 ()aaa,叫作向量a在空间的坐标,记作 123 ()aaa,a = (2)空间向量的直角坐标运算律 若 123123 ()()aaabbb,a =b =, 则a+ b 112233 ()ababab, ab 112233 ()ababab, 123 ()aaa,a,a?b),( 332211 bababa 112233( )ababab
6、R,ab, 1 12233 0a ba ba bab 若 111222 ()()A xyzB xyz, ,则 212121 ()ABxxyyzz uu u r ,即一个向量在 直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 4直线的方向向量与向量方程 ()位置向量:已知向量a, 在空间固定一个基点 O, 作向量 OA uu u r a, 则点A在空 间的位置被a所惟一确定,a称为位置向量 ()方向向量与向量方程:给定一个定点 A和一个向量a, 再任给一个实数t, 以A为 起点作向量tAPa, 则此向量方程称为动点P对应直线l的参数方程,向量a称为直 线l的方向向量 典型
7、例题分析: 例 1若AB=(x2,1,3),CD=(1,-y2,9),如果AB与CD为共线向量 , 则 ( ) A1x,1yB 2 1 x, 2 1 yC 6 1 x, 2 3 y D 6 1 x, 2 3 y 答案 : C 例 2已知向量a(1 , 1 , 0) ,b(-1 , 0 , 2) , 且kab与 2 a-b互相垂直,则 k的值是 ( ) A 1 B 5 1 C 5 3 D 5 7 答案 : D 例 3已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),求平面 ABC的单位法向量 解: 设平面 ABC的法向量n=(x,y,1),则nAB且nAC, 即nAB=0,且nAC=0, 即 ,0
8、354 , 0122 yx yx 即 , 1 , 2 1 y x n=( 2 1 ,-1,1),单位法向量n=( 3 1 ,- 3 2 , 3 2 ) (二)立体几何中的向量方法 1利用向量法确定直线、平面间的平行、垂直等位置关系 设直线 1 l 的方向向量是1u111( ), ,abc, 直线 2 l 的方向向量是2u222( )abc, 平面的 法向量是 1 v 111 ()xyz, , 平面的法向量是 2 v 222 ()xyz, 则有如下结论成立: (1) 12 llu1u2u1k 2 u 212121 ,kcckbbkaa; (2) 12 ll 1212 0uuu u 1 2121
9、2 0a ab bc c; (3) 1 l 1111 0uvu v 11111 1 0a xb yc z; (4) 1 l 111 uvuk 1 v 111111 ,kzckybkxa; (5) 121 vvvk 2 v 121212 ,xkxykyzkz ; (6) 1212 0vvv v 121212 0x xy yz z 第一部分:平行问题 利用空间向量解决线线平行问题 (06 山东模拟)已知直线OA平面, 直线BD平面, OB,为垂足求证:OABD 证明:以点O为原点,以射线OA为非负 z轴,如图1, 建立空间直角坐标系Oxyz, ,ijk 为沿, ,xyz轴的单位向量,且设 BD u
10、u u r ()xyz, , BD u uu r ,BD uu u r i,BD u uu r j, () (10 0)0BDxyzx u uu r , ,i, BD uu u r j() (01 0)0xyzy, , , (0 0)BDz u uu r , ,BDz uuu r k BD u uu r k, 即OABD 点评:由向量的共线的充要条件知,只要证明 OABD uuu ruuu r 即可 利用空间向量解决线面平行问题 (06 山西模拟) 已知 111 ABCA BC 是正三棱柱,D是AC的中点, 求证: 1 AB 平面 1 DBC 证法 1:建立如图2 的空间直角坐标系Axyz设正
11、三棱柱的底面边长为a , 侧棱长为b, 则 11 33 (0 0 0)0(0)00 22222 aaa ABaCabBabD, , , , , , , 设平面 1 DBC 的法向量为( )xyz, ,n, 则 11 33 0 00 2222 aa ABabBDaDCb uu uu ruuu ruuu u r , , , , 由BD uu u r n, 1 DC uu uu r n, 得 1 3 0 2 0 2 BDax a DCybz u uu r u uuu r , , n n 0 2 x a zy b , 取得1y, 得01 2 a b , ,n 由 1 3 0 10 222 aa ABa
12、b b uu uu r , , ,n, 得 1 AB uuu u r n , 即 1 AB 平面 1 DBC 证法 2:如图 3, 记 1 ABACAA uuu ruuu ruuu r ,abc , 则 111 11 22 ABDBABADDCDCCC uuu u ruu u ru uu ruu u ruu uu ru uu ruu uu r ,b+ cacab 11 DBDCAB u uu ruuu u ruuu u r ac, 11 DB DC AB uu u r uuuu r u uu u r ,共面 又 1 B平面 1 C BD , 1 AB 平面 1 DBC 点评:用向量证明线面平行
13、问题通常有两种方法:向量p与两个不共线的向量,ab 共面 的充要条件是存在惟一的有序实数对(),xy , 使xypab 利用共面向量定理可证明线 面平行问题,如证法 2设 n 为平面的法向量,要证明 a , 只需证明 0a n , 如 证法 1 利用空间向量解决面面平行问题 例题:已知正方体 1 AC 的棱长为1,EFG,分别为 1 ABADAA,的中点,求证:平面 EFG平面 11 BCD 证明:建立空间直角坐标系Dxyz , 则 111 (10 0)(11 0)(01 0)(0 0 0)(101)(111)(0 01)ABCDABD, , , , , , 得 111 100 010 222
14、 EFG, , , , 设 1111 ()xyz, ,n为平面EFG的法向量,设 2222 ()xyz,n为平面 11 BCD 的法向量 空间计算: 12 (111)(111), , ,nn 由 12 nn , 得平面EFG平面 11 B CD 点评:设 12 ,nn 分别为平面,的法向量,要证, 只需证明: 存在一个非零常数, 满足 12 nn , 则其实本题也可转化为线线平行,则面面平行即用向量先证明 1 uuuu ruuu r D CGE , 11D BEF uu uu ruuu r , 则有线面平行,从而平面EFG平面 11B CD 第二部分:垂直问题 利用空间向量解决线线垂直问题 (
15、2003 年高考题) 已知正四棱 1111 ABCDAB C D , 1 12ABAA, 点 E为 1 CC 中点,点F为1 BD 中点证明:EF为 1 BD 与 1 CC 的公垂线 证明:如图1, 在以C为的原点的空间直角坐标系中, 11 1 1 (010)(10 2)(0 0 2)(0 01)1 2 2 BDCEF, , , , 由 1 1 0 2 2 EF uu u r , 11 (0 0 2)(112)CCBD u uuu ru uu u r , , , , 得 1111 00EF BDEF CCEFBDEFCC uuu r u uuu ruuu r uu uu r , EF为 1 B
16、D 与1CC 的公垂线 点评: 把推理论证 ( 1EFCC )用向量运算 (1 0EF CC uuu r u uu u r )来代替,减少了构造辅助图形, 降低了思维量 利用空间向量解决线面垂直问题 (2005 年高考题)如图2, 在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA底面 ABCD, 312ABBCPAE,为PD的中点,在侧面 PAB内找一点N, 使NE 面PAC 解:如图2, 在以A为原点的空间直角坐标系中, 1 (31 0)(0 10)(0 0 2)01 2 CDPE, , , , 设 1 1(31 0)(0 0 2) 2 NExzACAP uuu ruu u ruu u r
17、 , , 由NE面PAC, 得 0 0 NE AC NE AP uuu r u uu r uuu r u uu r , , 即 13 30 2 6 10 1 xx z z , 3 01 6 N, , 点评:按照传统方法,要构造三条辅助线,多解两个三角形,画图、看图以及计算都增 加了难度 用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系,把几何问题代数化,降低了难 度 利用空间向量解决面面垂直问题 (07 北京海淀)如图 3,在正方体 1111 ABCDA BC D 中,O为AC 与BD的交点,G为 1 CC 的中点,求证:平面1 A BD平面 GBD 分析:要证明平面 1 ABD平面GBD, 只要证明
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