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1、1.【2019 高考天津,文 2】设变量, yx满足约束条件 20 20 280 x xy xy -? ? ? -? ? +-? ? ? ,则目标函数3yzx=+ 的最大值为() (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14 【答案】 C 【解析】 ()() 51 3y22899 22 zxxxy=+=-+-+?,当2,3xy时取得最大值9,故选 C.此题 也可画出可行域,借助图像求解 , 【考点定位】本题主要考查线性规划知识. 【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约 束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的
2、距 离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键. 2.【2019 高考浙江,文 6】有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求: 每个房间只用一种颜色, 且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位: 2 m)分别为x,y,z, 且xyz, 三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/ 2 m) 分别为a,b,c, 且abc 在 不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是() A axbyczB azbycxC aybzcx Daybxcz 【答案】 B 【解析】 由xyz,abc, 所以()()()axbyczazbycxa xzc zx ()()0xz ac, 故axbyczazbycx
3、;同理,()aybzcxaybxcz ()()()()0b zxc xzxz cb,故aybzcxaybxcz.因为 ()azbycxaybzcx()()()()0a zyb yzab zy,故 azbycxaybzcx.故最低费用为azbycx.故选 B. 考点: 1.不等式性质; 2.不等式比较大小. 【名师点睛】本题主要考查不等式的性质以及不等式比较大小.解答本题时要能够对四个选 项利用作差的方式进行比较,确认最小值 .本题属于容易题,重点考查学生作差比较的能 力. 3.【2019 高考重庆,文 10】若不等式组 20 220 20 xy xy xym ,表示的平面区域为三角形,且其 面
4、积等于 4 3 , 则 m 的值为() (A)-3 (B) 1 (C) 4 3 (D)3 【答案】 B 【解析】如图, 由于不等式组 20 220 20 xy xy xym ,表示的平面区域为ABC, 且其面积等于 4 3 , 再注意到直线:20ABxy与直线:20BCxym互相垂直,所以ABC是直角 三角形, 易知,(2,0),(1,1)ABmm, 2422 (,) 33 mm C;从而 1122 22122 223 ABC m Smmm= 4 3 , 化简得: 2 (1)4m, 解得3m,或1m, 检验知当3m时, 已知不等式组不能 表示一个三角形区域,故舍去,所以1m;故选 B. 【考点
5、定位】线性规划与三角形的面积. 【名师点睛】本题考查线性规划问题中的二元一次不等式组表示平面区域,利用已知条件 将三角形的面积用含m的代数式表示出来,从而得到关于m的方程来求解.本题属于中档 题,注意运算的准确性及对结果的检验. 4.【2019 高考湖南,文 7】若实数,a b满足 12 ab ab , 则ab的最小值为 ( ) A、2B、2 C、22D、 4 【答案】 C 【解析】 1212122 0022,2 2abababab abababab QQ, , , (当且仅当2ba时取等号), 所以ab的最小值为2 2, 故选 C. 【考点定位】基本不等式 【名师点睛】 基本不等式具有将“和
6、式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放 缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围如 果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正 数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解 5.【2019 高考四川,文 9】设实数x, y 满足 210 214 6 xy xy xy , 则 xy 的最大值为 ( ) (A) 25 2 (B) 49 2 (C)12 (D)14 【考点定位】 本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识,考查知识的整合与运用,考 查学生综合运用知识解决问题的能力. 【名师点睛】本题中,对可行域的处理并不
7、是大问题,关键是“求xy 最大值”中,xy 已经不是“线性”问题了,如果直接设xy k, , 则转化为反比例函数y k x 的曲线与可 行域有公共点问题,难度较大,且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中,用基本不等式 的思想,通过系数的配凑,即可得到结论,当然,对于等号成立的条件也应该给以足够 的重视 .属于较难题 . 6. 【 2019 高考广东,文 4】若变量x,y满足约束条件 22 0 4 xy xy x , 则23zxy的 最大值为() A10B8C5D2 【答案】 C 【解析】作出可行域如图所示: 作直线 0: l230xy, 再作一组平行于 0 l的直线:l23xyz, 当直线l经过
8、点时, 23zxy取得最大值,由 22 4 xy x 得: 4 1 x y , 所以点的坐标为4, 1, 所 以 max 24315z, 故选 C 【考点定位】线性规划 【名师点晴】本题主要考查的是线性规划,属于容易题线性规划类问题的解题关键是先 正确画出不等式组所表示的平面区域,然后确定目标函数的几何意义,通过数形结合确定 目标函数何时取得最值解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”, 否则很容易出 现错误;画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证,防止出现错误 7.【2019 高考重庆,文 14】设,0,5a bab+=,则1+3ab+的最大值为 _. 【答案】23 【解析】由 2
9、2 2abab两边同时加上 22 ab 得 222 ()2()abab两边同时开方即得: 22 2()abab(0,0ab且当且仅当 ab时取 “ =”) , 从而有1+3ab+2(13)2 93 2ab(当且仅当13ab,即 73 , 22 ab时,“ =”成立) , 故填:23. 【考点定位】基本不等式. 【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值,先将基本不等式 22 2abab转化为 22 2()abab(a0,b0 且当且仅当a=b 时取“ =” )再利用此不等式来求解.本题属 于中档题,注意等号成立的条件. 8.【2019 高考新课标1, 文 15】若 x,y 满足约束条件 20 2
10、10 220 xy xy xy ,则 z=3x+y 的最大值 为 【答案】 4 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线 0 l:30xy, 平移直线 0 l, 当 直线l:z=3x+y 过点 A 时, z 取最大值,由 2=0 21=0 xy xy 解得 A(1,1) , z=3x+y 的最大 值为 4. 考点:简单线性规划解法 【名师点睛】 对线性规划问题,先作出可行域,在作出目标函数,利用 z 的几何意义,结 合可行域即可找出取最值的点,通过解方程组即可求出做最优解,代入目标函数,求出 最值,要熟悉相关公式,确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键,目标函数常有 距离型、直线型和斜
11、率型. 9. 【 2019 高考陕西,文 11】某企业生产甲乙两种产品均需用A, B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示,如果生产1 吨甲乙产品可获利润分别 为 3 万元 .4 万元,则该企业每天可获得最大利润为() A12 万元B16 万元C17 万元D18 万元 【答案】D 【解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别x,y吨,则利润34zxy 由题意可列 0,0 3212 28 xy xy xy , 其表示如图阴影部分区域: 当直线340xyz过点(2,3)A时,z取得最大值3 24318z, 故答案选D。 【考点定位】线性规划. 【名师点睛】 1.本题考查线
12、性规划在实际问题中的应用,在解决线性规划的应用题时,可 依据以下几个步骤:分析题目中相关量的关系,列出不等式组,即约束条件和目标 函数; 由约束条件画出可行域;分析目标函数z与直线截距之间的关系;使用平 移直线法求出最优解;还原到现实问题中.2.本题属于中档题,注意运算的准确性. 10.【2019 高考湖南,文 4】若变量xy,满足约束条件 1 1 1 xy yx x , 则2zxy的最 小值为 ( ) A、1B、0 C、1 D、2 【答案】 A 【解析】 由 约 束 条 1 1 1 xy yx x 作 出 可 行 域 如 图 ,由 图 可 知 ,最 优 解 为A ,联 立 10 0,1 11
13、 xyx A yxy , 2zxy在点 A 处取得最小值为1故选: A 【考点定位】简单的线性规划 【名师点睛】求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求其关键是准确作出可行域, 理解目标函数的意义常见的目标函数有: (1) 截距型:形如zaxby, 求这类目标函 数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式: 1 ,(0) a yxz b bb ,通过求直 线的截距 z b 的最值间接求出z的最值 (2) 距离型:形如 22 ()()zxayb. (3)斜率 型:形如 yb z xa . 注意:转化的等价性及几何意义 11.【2019 高考福建,文 10】变量,x y满足约束条件 0 220
14、 0 xy xy mxy , 若2zxy的最 大值为 2, 则实数m等于() A2B1C1D2 【答案】 C x 12341234 1 2 3 4 1 2 3 B O C 【解析】 将目标函数变形为2yxz, 当z取最大值,则直线纵截距最小,故当0m 时,不满足题意;当0m时,画出可行域,如图所示,其中 22 (,) 21 21 m B mm 显 然(0,0)O不 是 最 优 解 ,故 只 能 22 (,) 21 21 m B mm 是 最 优 解 ,代 入 目 标 函 数 得 42 2 2121 m mm , 解得1m, 故选 C 【考点定位】线性规划 【名师点睛】 本题考查含参数的线性规划
15、问题,首先要对目标函数进行分析,什么时候目 标函数取到最大值,其次要对m的符号讨论,以确定可行域,解该类题目时候,往往 还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较,否则很容易出错 12.【2019 高考福建,文 5】若直线1(0,0) xy ab ab 过点(1,1), 则ab的最小值 等于() A2 B3 C4 D5 【答案】 C 【解析】 由已知得 11 1 ab , 则 11 =()()abab ab 2+ ba ab , 因为0,0ab, 所以+2=2 bab a aba b , 故4ab, 当= ba ab , 即2ab时取等号 【考点定位】基本不等式 【名师点睛】 本题以直线方程为
16、背景考查基本不等式,利用直线过点寻求变量,a b关系, 进而利用基本不等式求最小值,要注意使用基本不等式求最值的三个条件“正,等, 定” , 属于中档题 13.【2019 高考安徽,文 5】已知 x, y 满足约束条件 0 40 1 xy xy y , 则yxz2的 最大值是() (A)-1 (B)-2 ( C)-5 (D)1 【答案】 A 【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域,如下图: 令yxz2zxy2, 可知在图中) 1 , 1(A处,yxz2取到最大值 -1,故选 A. 【考点定位】本题主要考查了简单的线性规划. 【名师点睛】 在解决简单的线性规划问题时,考生作图和确定可行区域一定
17、要细心,本题 考查了考生的数形结合能力和基本运算能力. 14.【 2019 高考天津,文12】已知0,0,8,abab则当a 的值为时 22 loglog2ab取得最大值 . 【答案】 4 【 解 析 】 22 22 2222 loglog211 loglog2log 2log 164, 244 ab abab 当 2ab时取等号 ,结合0,0,8,abab可得4,2.ab 【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用. 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣 “ 一正、二定、三相等” 这三个条件 ,注 意创造 “ 定” 这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理
18、,使之可用基本不 等式来解决 ,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性. 15.【2019 高考山东,文 12】若,x y满足约束条件 1 3, 1 yx xy y 则3zxy的最大值 为. 【答案】7 【解析】 画出可行域及直线30xy, 平移直线30xy, 当其经过点(1,2)A时,直线的纵 截距最大,所以3zxy最大为13 27z. 【考点定位】简单线性规划. 【名师点睛】本题考查了简单线性规划的应用,解答本题的关键,是掌握方法,准确画 图,细心计算 . 本题属于基础题,是简单线性规划问题中最为简单的一种求最值问题,在考查相关基础知 识的同时,较好地考查了考生的作图能力及运算能力
19、. 16.【2019 高考湖北,文 12】若变量, x y 满足约束条件 4, 2, 30, xy xy xy 则 3x y 的最大值是 _ 【答案】10. 【考点定位】本题考查线性规划的最值问题,属基础题 . 【名师点睛】 这是一道典型的线性规划问题,重点考查线性规划问题的基本解决方法,体 现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性,能较好的考查学生准确作图能力和灵 活运用基础知识解决实际问题的能力. 17.【2019 高考广东,文 11】不等式 2 340xx的解集为 (用区间表示) 【答案】4,1 【解析】由 2 340xx得:41x,所以不等式 2 340xx的解集为4,1, 所以答
20、案应填:4,1 【考点定位】一元二次不等式 【名师点晴】本题主要考查的是一元二次不等式,属于容易题解题时要注意 2 x的系数是 否为正数,如果 2 x的系数是负数,一定要化为正数,否则很容易出现错误 18. 【2019 高考北京,文 13】如图,C及其内部的点组成的集合记为D,, x y 为D中任意一点,则23zxy的最大值为 【答案】7 【解析】 由题图可知,目标函数 2 33 z yx, 因此当2,1xy, 即在点处时z取 得最大值为7. 【考点定位】线性规划. 【名师点晴】本题主要考查的是线性规划,属于容易题线性规划类问题的解题关键是先 正确画出不等式组所表示的平面区域,然后确定目标函数
21、的几何意义,通过数形结合确定 目标函数何时取得最值解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”, 否则很容易出 现错误 19. 【 2019 高考浙江,文 14】 已知实数x,y满足 22 1xy, 则2463xyxy 的最大值是 【答案】 15 【解析】 22 ,22 2463 1034 ,22 xy yx zxyxy xy yx 由图可知当22yx时,满足的是如图的AB劣弧,则22zxy在点(1,0)A处取 得最大值5;当22yx时, 满足的是如图的AB优弧,则1034zxy与该优弧相 切时取得最大值,故 10 1 5 z d, 所以15z, 故该目标函数的最大值为15. 【考点定位】 1
22、.简单的线性规划; 【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划.根据条件,利用分类讨论,确定目标函数的 情况,画出可行域,根据线性规划的特点,确定取得最值的最优解,代入计算 .本题属 于中等题,主要考查学生数形结合的能力以及分类讨论思想. 21. 【2019 高考上海,文 16】 下列不等式中,与不等式2 32 8 2 xx x 解集相同的是 (). A. 2)32)(8( 2 xxx B. ) 32(28 2 xxx C. 8 2 32 1 2 xxx D. 2 1 8 32 2 x xx 【答案】 B 【解析】因为 022)1(32 22 xxx,8x可能是正数、负数或零,所以由 )32(28
23、 2 xxx可得2 32 8 2 xx x ,所以不等式2 32 8 2 xx x 解集相同的是 )32(28 2 xxx, 选 B. 【考点定位】同解不等式的判断. 【名师点睛】求解本题的关键是判断出022)1(32 22 xxx. 本题也可以解出 各个不等式,再比较解集 . 此法计算量较大. 20. 【2019 高考上海,文 9】若yx,满足 0 2 0 y yx yx , 则目标函数yxz2的最大值 为 . 【答案】 3 【解析】不等式组表示的平面区域如图OAB(包括边界), 联立方程组 2yx xy , 解 得 1 1 y x , 即)1 , 1 (A, 平 移 直 线02yx当 经 过 点A时 ,目 标 函 数yxz2的 取 得 最 大 值 ,即 321 max z. 【考点定位】不等式组表示的平面区域,简单的线性规划. 【名师点睛】利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1) 在平面直角坐标系内作出可行域; (2) 考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; (3) 确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解; (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值
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