高考福建理科数学试题及答案(高清版).pdf
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1、2019年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类 (福建卷 ) 本试卷分第 卷(选择题 )和第 卷(非选择题 )两部分理科:第卷第 21 题为选考题, 其他题为必考题,满分 150 分 第 卷 一、选择题: (理科 )本大题共10 小题,每小题 5分,共 50 分在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的(文科 )本大题共12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分在 每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1下列命题中,真命题是 () Ax0 R, 0 e0 x BxR, 2xx2 Cab0 的充要条件是1 a b Da1, b1 是 ab1 的充分条件 2一
2、个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是() A球B三棱锥C正方体D圆柱 3若复数z 满足 zi1i, 则 z 等于 () A 1i B1i C 1i D1i A34i B 54i C32i D 52i 4等差数列 an 中,a1a510, a47, 则数列 an的公差为 () A1 B 2 C3 D4 5下列不等式一定成立的是() Alg(x2 1 4 )lg x(x0) Bsinx 1 sinx 2(xk , kZ) Cx 212|x|(xR) D 21 1 1x (xR) 6如图所示,在边长为 1 的正方形OABC 中任取一点P, 则点 P 恰好取自阴影部分 的概率
3、为 () A 1 4 B 1 5 C 1 6 D 1 7 7设函数 1, ( ) 0, x D x x 为有理数, 为无理数, 则下列结论错误的是() AD(x)的值域为 0,1 BD(x)是偶函数 CD(x)不是周期函数DD(x)不是单调函数 8已知双曲线 22 2 1 4 xy b 的右焦点与抛物线y212x 的焦点重合, 则该双曲线的焦 点到其渐近线的距离等于() A5B42C3 D5 9若函数 y 2x图象上存在点 (x, y)满足约束条件 30, 230, , xy xy xm 则实数 m 的最大值 为() A 1 2 B1 C 3 2 D2 10 函 数f(x) 在 a ,b 上
4、有 定 义 ,若 对 任 意x1,x2 a,b ,有 12 12 1 () 22 xx ffxfx, 则称 f(x)在 a, b上具有性质P设 f(x)在 1,3 上具有性质P, 现给出如下命题: f(x)在 1,3上的图象是连续不断的; f(x2)在 1, 3上具有性质P; 若 f(x)在 x2 处取得最大值1, 则 f(x)1, x 1,3 ; 对任意x1, x2, x3, x4 1,3 , 有 1234 1 () 44 xxxx ff(x1) f(x2)f(x3) f(x4) 其中真命题的序号是() ABCD 第 卷 二、填空题:(理科 )本大题共5 小题,每小题 4 分,共 20 分把
5、答案填在答题卡的 相应位置 (文科 )本大题共4 小题,每小题 4 分,共 16 分把答案填在答题卡的相应位 置 11 (a x)4的展开式中 x3的系数等于8, 则实数 a_ 12阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 s值等于 _ 13已知 ABC 的三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为_ 14数列 an的通项公式 cos1 2 n n an, 前 n 项和为 Sn, 则 S2 012_ 15对于实数a 和 b, 定义运算“ * ”: 2 2 * . aabab a b babab , , 设 f(x)(2x1)*( x1),且关于 x的方程 f(x)m(mR)恰有三个
6、互不相等的实数根x1, x2, x3, 则 x1x2x3的取值范围是_ 三、解答题: (理科 )本大题共6 小题,共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 (文科 )本大题共6 小题,共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次 出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2 年现从该 厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50 辆,统计数据如下: 品牌甲乙 首次出现故障 时间 x(年) 0x11x2x20x 2x2 轿车数量 (辆)2345545 每辆利润 (万元 ) 1231.82
7、.9 将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概 率; (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1, 生产一辆乙品 牌轿车的利润为X2, 分别求 X1, X2的分布列; (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌 的轿车若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由 17某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: sin213 cos217 sin13 cos17 ; sin215 cos215 sin15 cos15 ; sin218
8、 cos212 sin18 cos12 ; sin2(18 )cos248 sin( 18 )cos48 ; sin2(25 )cos255 sin( 25 )cos55 (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据 (1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论 18如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1AD1, E 为 CD 中点 (1)求证: B1EAD1 (2)在棱 AA1上是否存在一点P, 使得 DP平面 B1AE?若存在,求 AP 的长;若不存 在,说明理由 (3)若二面角AB1EA1的大小为30 , 求 AB 的长 19如图,椭圆E:
9、22 22 1 xy ab (ab0)的左焦点为F1, 右焦点为F2, 离心率 1 2 e过 F1的直线交椭圆于A、 B两点,且 ABF2的周长为8 (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l: ykxm与椭圆 E有且只有一个公共点P,且与直线 x 4相交于点 Q 试 探究: 在坐标平面内是否存在定点M, 使得以 PQ 为直径的圆恒过点M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由 20已知函数f(x)ex ax2ex, a R (1)若曲线 yf(x)在点 (1, f(1)处的切线平行于x 轴,求函数 f(x)的单调区间; (2)试确定a 的取值范围,使得曲线yf(x)上存在唯一的点
10、P, 曲线在该点处的切线 与曲线只有一个公共点P 21 (1)选修 42:矩阵与变换 设曲线2x22xyy21 在矩阵 0 1 a b A(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2 y21 求实数 a, b 的值; 求 A 2 的逆矩阵 (2)选修 44:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已 知直线l 上两点M,N 的极坐标分别为(2,0), 2 3 , 32 ,圆C 的参数方程为 22cos , 32sin x y (为参数 ) 设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; 判断直线l 与圆 C 的位置关系 (3)选
11、修 45:不等式选讲 已知函数 f(x)m|x2|, mR, 且 f(x2)0 的解集为1,1 求 m 的值; 若 a, b, cR, 且 111 23 m abc , 求证: a2b3c9 22(文)已知函数f(x)axsinx 3 2 (aR), 且在 0, 2 上的最大值为 3 2 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)在 (0, )内的零点个数,并加以证明 1 A由 zi1i, 得 2 2 1i(1i)iiii+1 1i ii11 z 2 Ba1a5102a3, a35故 da4a37 52 3 Da10, b10, 由不等式的性质得ab1, 即 a1, b1? ab
12、1 4 D圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆, 这个几何体不可以是圆柱 5 Cx212|x|? x22|x|10, 当 x0 时,x2 2|x|1x22x1(x1) 20 成立; 当 x0 时,x22|x|1x22x1(x1)20 成立 故 x212|x|(xR)一定成立 6 C由图象知阴影部分的面积是 3 1 2 2 0 121211 ()d() 032326 xxxxx , 所求概率为 1 1 6 16 7 CD(x)是最小正周期不确定的周期函数, D(x)不是周期函数是错误的 8 A由双曲线的右焦点与抛物线y212x 的焦点重合, 知3 2 p c, c294 b2, 于 是b2 5,5b
13、 因 此 该 双 曲 线 的 渐 近 线 的 方 程 为 5 2 yx,即 520xy故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 |3 5 | 5 54 d 9 B由约束条件作出其可行域如图所示: 由图可知当直线xm经过函数 y2x的图象与直线x y30的交点 P时取得最大值, 即得 2x3 x, 即 x1m 10 D如图 1, 图 1 在区间 1,3上 f(x)具有性质P, 但是是间断的,故错 可设f(x)|x2|(如图 2), 当 x 1,3时易知其具有性质P, 但是 f(x2) |x22| 2 2 2,12, 2,23 xx xx 不具有性质P(如图 3) 故错 图 2 图 3 任取 x0 1,
14、3 , 则 4x0 1,3 , 1f(2) 00 4 () 2 xx f 1 2 f(x0)f(4x0) 又 f(x0)1, f(4x0)1, 1 2 f(x0)f(4x0) 1 f(x0)f(4x0)1故正确 3412 1234 22 ()() 42 xxxx xxxx ff 3412 1 ()+ () 222 xxxx ff 1 4 f(x1)f(x2)f(x3)f(x4) , 故正确 11答案: 2 解析: Tr1 4 C r arx4 r , 当 4r3, 即 r1 时, T2 1 4 C a x34ax38x3故 a2 12答案: 3 解析: (1)k1,14, s 2111; (2
15、)k 2,24, s2120; (3)k 3,34, s203 3; (4)k 4, 直接输出s 3 13答案: 2 4 解析: 设ABC 的最小边长为a(m0), 则其余两边长为2a, 2a, 故最大角的余 弦值是 2222 2 (2 )(2 )2 cos 4222 2 aaaa aaa 14答案: 3 018 解析: 函数 cos 2 n y的周期 2 4 2 T, 可用分组求和法: a1a5 a2 009 503 1 1+1=503 1 4 2 43 个 ; a2a6 a2 010( 21) (6 1) (2 010 1) 15 2 009 503( 1 2009) 2 5031 005
16、; a3a7 a 2 011 503 1 1+1=503 1 4 2 43 个 ; a4a8 a2 012 (41)(81) (2 0121) 503(52013) 2 5031 009; 故 S2 0125035031 0055035031 009 503 (11 00511 009)3 018 15答案: ( 13 16 , 0) 解析: 由已知,得 2 2 20 0 xxx fx xxx , , , 作出其图象如图,结合图象可知m 的取值范围为0 m 1 4 , 当 x0 时,有 x2xm, 即 x2xm0, 于是 x1x2m 当 x0 时,有 2x2xm0, 于是 3 118 4 m
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