2010年全国高考文科数学试题及答案-全国1.pdf
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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 文科数学 ( 必修+选修) 本试卷分第I 卷( 选择题 )和第卷 (非选择题 ) 两部分。第I 卷 1 至 2 页。第卷3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 注意事项: 1答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效 。 3第 I 卷共 12 小题,每小题5 分,共 60 分。在
2、每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 参考公式: 如果事件A、B互斥,那么球的表面积公式 ()()()P ABP AP B 2 4SR 如果事件A、B相互独立,那么其中 R表示球的半径 ()()()P A BP A P B球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么 3 3 4 VR n次独立重复试验中事件 A恰好发生k次的概率其中 R 表示球的半径 ( )(1)(0,1,2,) kknk nn P kC ppkn 一、选择题 (1)cos300 (A) 3 2 (B)- 1 2 (C) 1 2 (D) 3 2 1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数
3、值等三角函数知识 【解析】 1 cos300cos 36060cos60 2 (2) 设全集1,2,3,4,5U,集合1,4M,1,3,5N,则 U NMe A.1,3 B、1,5 C、3,5 D、4,5 2.C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】2,3,5 UM e,1,3,5N,则 U NMe1,3,52,3,5=3,5 (3) 若变量, x y满足约束条件 1, 0, 20, y xy xy 则2zxy的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域(如右图
4、), 11 2 22 zxyyxz,由图可知 ,当直线l经过点 A(1,-1) 时, z 最大,且最大值为 max 12( 1)3z. (4)已知各项均为正数的等比数列 n a , 123 a a a=5, 789 a a a=10,则 456 a a a= (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等 知识,着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析】由 等 比 数 列 的 性 质 知 3 1231322 ()5a a aa aaa, 3 7897988 ()a a aa aaa10, 所以 1 3
5、28 50a a, 所以 1 333 6 456465528 ()()(50 )5 2a a aa aaaa a (5) 43 (1) (1)xx的展开式 2 x的系数是 (A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 5.A、 【命题意图】 本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是展开式的通项公 式的灵活应用, 以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数,同时也考查了考生的一些 基本运算能力 . 【解析】 13 43234 22 (1) (1)14641 33xxxxxxxxx 0xy 1 O yx y 20xy x A 0 :20lxy 2 2 A 2 x的系数是 -12+6=-6
6、(6) 直三棱柱 111 ABCA BC中,若90BAC, 1 ABACAA,则异面直线 1 BA与 1 AC所成的角等于 (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱 111 ABCA B C的性质、异面直线所成的角、异 面直线所成的角的求法、 【解析】延长CA 到 D,使得ADAC,则 11 ADAC为平行四边形, 1 DA B就是异面直 线 1 BA与 1 AC所成的角,又三角形 1 ADB为等边三角形, 0 1 60DA B (7) 已知函数( )| lg|f xx. 若ab且,( )( )f af b,则ab的取值范围是 (A)(1,) (
7、B)1,)(C) (2,) (D) 2,) 7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做 本小题时极易忽视a 的取值范围,而利用均值不等式求得a+b= 1 2a a ,从而错选D,这也 是命题者的用苦良心之处. 【解析 1】因为f(a)=f(b), 所以 |lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去 ),或 1 b a ,所以 a+b= 1 a a 又 0f(1)=1+1=2, 即 a+b 的取值范围是 (2,+). 【解析2】由 0ab, 且f(a)=f(b) 得: 01 1 1 a b ab ,利用线性规划得: 01 1 1 x y xy ,化为求 zx
8、y的取值范围问题,zxyyxz, 2 11 1yy xx 过点1,1 时 z 最小为 2, (C) (2,) (8)已知 1 F、 2 F为双曲线C: 22 1xy的左、右焦点,点P在 C 上, 1 FP 2 F= 0 60, 则 12 | |PFPF A B C D A1 B1 C1 D1 O (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理,考查转化的数学思想, 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】.由余弦定理得 cos 1 FP 2 F= 222 1212 12 | 2| PFPFF F PFPF 2
9、 222 12 1212120 1212 222 2 2 1 cos60 222 PF PF PFPFPF PFF F PF PFPFPF 12 | |PFPF4 【解析 2】由焦点三角形面积公式得: 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 F PF SbPFPFPFPF 12 | |PFPF4 (9)正方体ABCD- 1111 A B C D中, 1 BB与平面 1 ACD所成角的余弦值为 (A) 2 3 ( B ) 3 3 (C) 2 3 (D) 6 3 9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的 求法,利
10、用等体积转化求出D 到平面 AC 1 D的距离是解决本题的关键所在, 这也是转化思想 的具体体现 . 【解析 1】 因为 BB 1/DD1,所以B 1 B与平面 AC 1 D所成角和DD1与平 面 AC 1 D所成角相等 ,设DO 平面AC 1 D,由等体积法得 11 DACDDACD VV,即 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD.设 DD1=a, 则 1 22 1 1133 sin60(2 ) 2222 ACD SAC ADaa, 2 11 22 ACD SAD CDa. 所 以 1 3 1 2 3 3 3 A C D A C D SD Da D Oa S a , 记DD1 与
11、平 面AC 1 D所 成 角为, 则 1 3 sin 3 DO DD ,所以 6 cos 3 . 【解析 2】 设上下底面的中心分别为 1, OO; 1 O O与平面AC 1 D所成角就是B 1 B与平面AC 1 D 所成角, 1 11 1 36 cos1/ 3 2 OO OOD OD (10)设 1 2 3 log 2,ln2,5abc则 (A)abc(B)bca (C) cab (D) cba 10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实 数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析 1】 a= 3 log2= 2 1 log 3 ,
12、b=In2= 2 1 log e ,而 22 log 3log1e,所以 ab, c= 1 2 5= 1 5 ,而 22 52log 4log 3,所以 ca,综上 cab. 【解析2】a= 3 log2= 3 2 1 log ,b=ln2= 2 1 log e , 3 22 1loglog2 e , 3 22 111 1 2loglog e ; c= 1 2 111 5 254 , cab (11)已知圆O的半径为1,PA 、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么PAPB的 最小值为 (A) 42 (B)32 (C) 42 2 (D)32 2 11.D【命题意图】 本小题主要考查向量的数
13、量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求 法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析 1】 如图所示: 设 PA=PB=x(0)x, APO= , 则 APB=2,PO= 2 1x, 2 1 sin 1x , | |cos2PA PBPAPB= 22 (1 2sin)x= 22 2 (1) 1 xx x = 42 2 1 xx x ,令PAPBy,则 42 2 1 xx y x , 即 42 (1)0xy xy,由 2 x是实数,所以 2 (1)4 1 ()0yy, 2 610yy,解得32 2y或32 2y. 故 min ()32 2PA PB.此时21x.
14、 P A B O 【解析 2】设,0APB, 2 cos1/ tancos 2 PAPBPAPB 22 2 2 22 1 sin12sin cos 22 2 12sin 2 sinsin 22 换 元 : 2 s i n, 01 2 xx, 112 1 23223 xx PAPBx xx 【解析 3】建系:园的方程为 22 1xy ,设 11110 (,),(,),(,0)A x yB xyP x, 22 11101110110 ,001AOPAx yxxyxx xyx x 22222222 1100110110 22123223PAPBxx xxyxxxxx (12)已知在半径为2 的球面上
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