KS5U教案推荐高中数学必修4平面向量常考题型:向量数乘运算及其几何意义案.pdf
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1、向量数乘运算及其几何意义 【知识梳理】 1向量数乘运算 一般地,规定实数 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 a,其 长度与方向规定如下: (1)| a| |a|; (2) a(a 0)的方向 当 0时,与 a方向相同, 当 0时,与 a方向相反 . 特别地,当 0 或 a0 时, 0a0 或 00. 2向量数乘的运算律 设 ,为实数,则 (1) ( a)()a; (2)( )a aa; (3) (ab) a b. 特别地, ( )a ( a) (a), (ab) a b. 3共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ,使 b a. 4向量的线性
2、运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a,b,以及任意实数 、 1、2,恒有 (1a 2b) 1a 2b. 【常考题型】 题型一、向量的线性运算 【例 1】化简下列各式: (1)3(6a b)9 a 1 3b ; (2)1 2 3a2b a 1 2b 2 1 2a 3 8b ; (3)2(5a 4bc)3(a 3bc)7a. 解(1)原式 18a3b9a3b9a. (2)原式 1 2 2a 3 2b a 3 4ba 3 4ba 3 4b0. (3)原式 10a8b2c3a9b3c7abc. 【类题通法】 向量线性运算的方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算,共线向量可
3、以合并,即“合并同类项 ”“ 提 取公因式 ”,这里的 “同类项 ”“ 公因式 ” 指的是向量 【对点训练】 化简下列各式: (1)2(3a 2b)3(a5b)5(4ba); (2)1 6 2 2a8b 4 4a 2b. 解: (1)原式 6a4b3a15b20b5a14a9b; (2)原式 1 6(4a16b16a8b) 1 6(12a24b) 2a4b. 题型二、在几何图形中用已知向量表示未知向量 【例 2】如图所示, D,E 分别是 ABC 的边 AB, AC 的中点, M,N 分别是 DE,BC 的中点,已知BCa,BDb,试用 a,b 分别表示DE,CE,MN. 解由三角形中位线定理
4、,知DE/ 1 2BC,故 DE 1 2 BC,即DE1 2a. CECBBDDE a b1 2a 1 2ab. MNMDDBBN 1 2 EDDB 1 2 BC 1 4ab 1 2a 1 4ab. 【类题通法】 用已知向量表示未知向量的方法 用图形中的已知向量表示所求向量,应结合已知和所求,联想相关的法则和几何图形的 有关定理,将所求向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示即可,其实质是向量的线性 运算的反复应用 【对点训练】 如图所示,四边形OADB 是以向量OAa, OBb 为邻边的平行四边形又 BM 1 3BC, CN 1 3CD, 试用 a, b表示 OM,ON,MN. 解:BM 1
5、 3 BC 1 6 BA 1 6( OAOB) 1 6(ab), OMOBBMb1 6a 1 6b 1 6a 5 6b. CN 1 3CD 1 6OD , ONOCCN 1 2OD 1 6OD 2 3 OD 2 3( OAOB) 2 3(ab) MNONOM2 3(ab) 1 6a 5 6b 1 2a 1 6b. 题型三、共线向量定理的应用 【例 3】(1)已知 e1,e2是两个不共线的向量,若 AB2e1 8e2,CBe1 3e2,CD 2e1 e2,求证: A,B,D 三点共线 (2)已知 A,B,P 三点共线, O 为直线外任意一点,若OPxOAyOB,求 xy 的 值 解(1)证明:C
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