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1、中考系列复习几何计算专题 一、中考要求 证明与计算,是几何命题的两大核心内容。几何计算题,通常需要借助几何中的概念、 定义、定理、公理等知识,求解相关几何元素的数值。在解题时,要求能准确灵活地选用有 关知识,采用各种数学方法(既可以是几何方法,也可以是代数方法),加以求解。为了能 在有限的时间内,迅速准确地解题,就需要在平时练习中,强化基础题,多采用一题多解、 优化方案等训练方法,积累经验,达到熟能生巧的效果。 二、知识网络图 如图 1 所示: 三、基础知识整理 几何计算题的重点比较分散,从知识点本身来说,解直角三角形的知识具有计算题得天 独厚的优势,所以涉及解直角三角形的试题大部分是计算题。
2、但是,在实际命题时,更多的 是圆的有关计算题和四边形的计算题,它们与其它几何知识都有密切的联系,能在主要考查 一个知识点的同时, 考查其他知识点。 就题型而言, 各种题型中都能见到几何计算题的身影, 比如线与角计算题、三角形计算题、 相似形计算题等等,综合性计算题则更多出现在中档解 答题和压轴题中。 需要说明的是, 根据中考命题改革的大趋势,几何计算题的难度比以前有所下降,更突 出在题目的内容、 形式、解法上有所创新,所以,我们不必把重点放到一些繁难的计算题上, 而应扎实学好基础知识,多分析解题使用到的数学思想方法,比如方程与函数、分类讨论、 转化构造等数学思想方法,重视数学知识的实际应用。
3、四、考点分析(所选例题均为2004 年中考试题) 1、线与角计算题 所用知识主要有线段的中点、角平分线、线段或角的和差倍分、余角、补角的基本概念 的定义,以及角的计量、对顶角性质、平行线性质等。难度不大,可直接利用上述定义、定 理解题。 例 1 (黑龙江) 如图 1,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于O,则 AOC+ DOB=_. 几 何 计 算 题 线与角计算题 三角形计算题 四边形计算题 相似形计算题 解直角三角形计算题 圆 的 有 关 计 算 题 几 何 综 合 计 算 题 图1 图 1 分析 : AOC+ DOB = (AOD+ DOB+ COB)+ DOB = (AOD+ D
4、OB)+( COB+DOB) = AOB + COD = 90 0 + 900 = 180 0. 2、三角形计算题 三角形的内角和定理、三边关系定理及其推论,等腰三角形的性质、全等三角形的性质、 特殊三角形(比如等边三角形、含有300的直角三角形)的性质、勾股定理、边长、周长及 面积的计算等都是三角形计算题的常用知识。解三角形计算题时也经常用到线与角的知识。 例 2(江苏连云港)如图2,平面镜A 与 B 之间夹角为110 ,光线经平面镜A 反射到 平面镜 B 上,再反射出去,若21,则1的度数为 _ 分析 :根据光的反射定律可知,1=3, 2=4. 因为21,所以 3 =4. 则 3 、 4
5、成为顶角为1100角的等腰三角形的两个底角, 因此, 1 = 1 2 (180 0 110 0) = 1 2 70 0 = 350. 3、四边形计算题 随着对圆的计算、证明要求的降低, 很多省市的几何中考重点开始向以四边形为主的内 容转移。比如, 河北省连续多年把压轴题锁定在以四边形、三角形为主的直线型图形上。四 边形计算题主要的运用知识有:多边形内角和定理及其推论(外角和定理),各种平行四边 形及梯形的性质,平行线等分线段定理,三角形及梯形的中位线定理,四边形的周长尤其是 面积的求法,对称问题,折痕问题等。 例 3(北京海淀)已知:如图3 所示,梯形ABCD 中, AD/BC ,BD 平分
6、ABC , A=120, BDBC4 3,求梯形的面积。 2 1 110 A B 图 2 3 4 图 3 分析 :此题解法较多,下面提供其一,希望同学们在多想几种解法,分析所用知识点, 比较优劣,以便在中考试有所选择,提高解题效率。 过点 B 作 BEDA 交 DA 的延长线于E。 B A D 120E A B 60 BDABC平分,12 ADBC/ /3213302分 在 RtBDE 中, BD4 3, BEBDEDBD 1 2 233064,分cos 在 RtBEA 中, AEBE cot 602 3 3 3 2 ADEDAE6245分 SADBCEB 梯形 分 1 2 1 2 44 32
7、 34 3126() 4、相似形计算题 相似形是解直角三角形和圆等知识的基础,特别是在圆中, 相似形、 比例线段更是所处 可见。 这部分知识出现在计算题中的也有很多:比例及其性质、相似形的性质、平行线分线 段成比例定理等等,另外,引入参数法等重要的数学方法在解题时也经常用到。 例 4 (山东泰安) 有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6cm ,BC=8cm , 将 ABC折叠, 使点 B与点 A重合,折痕为DE(如图 4) ,则 CD等于() A.25/4 ; B.22/3; C.7/4; D.5/3. 图 4 分析 :RtABC中,由勾股定理,得AB = AC 2+BC2 =10cm. 将
8、ABC折叠,使点B与点 A重合,点 B与点 A关于折痕所在直线DE对称,则DE垂直 平分 AB ,BE=AB/2=5 cm. 易证 RtBDE Rt BAC ,则 BD:BE=AB:BC ,所以 BD = ABBE BC = 105 8 = 25 4 . 因此, CD = BC-BD = 8-25/4 =7/4. 故选 C. 5、解直角三角形计算题 解直角三角形的全部主要内容都与计算有关。中考中考查: 特殊角的三角函数值,利用 三角函数的定义式和各种关系式求解,综合运用勾股定理、直角三角形两锐角互余等直角三 角形的性质解直角三角形。 例 5(湖北荆门)如图5,将一副三角尺如下图摆放在一起,连结
9、AD,试求ADB的余 切值. 分析 :过点 A 作 DB 的延长线的垂线AE,垂足为E. 在等腰 RtBDC中, 1451,2.BDDCBC设则 在 RtABC中, 430 ,ABBC则 tan 36 302. 23 在 RtAEB中,2180(13)180(9045 )45. 则EBEAABsin 623 45. 323 在 RtDEA中, 3 1 3 DEBDEB, 则 cos 33 (1)13. 33 DE ADB EA 6、圆的有关计算题 圆,可谓初中几何集大成者。他的知识领域几乎涵盖了初中几何的全部内容。涉及到计 算的定理俯拾皆是:垂径定理、圆心角定理、圆周角定理、弦切角定理、切线长
10、定理、相交 弦定理以及它们的推论,圆的半径、直径、周长、面积,弧、弓形、扇形、圆柱、圆锥的相 关计算公式等,无一不显示着计算题的本性。 例 6 (陕西)如图 6, 点 C 在以 AB 为直径的半圆上, 连结 AC、BC,AB=10, tanBAC= 3 4 , 求阴影部分的面积. D C A B A B D C E 1 3 4 2 图 5 C A B 图 6 分析:此题除了要用到圆的有关知识,主要与解直角三角形知识综合在一起。 AB 为直径, 2 :, 90 , 3 tan, 4 3 sin. 5 sin,10, 344 106,68. 533 1125 58624. 222 ABC AB A
11、CB BAC BAC BC BACAB AB BCACBC SSS 阴影半圆 19. 解为直径 又 =-= 把初中几何甚至代数的知识融为一体,命制的几何综合计算题,在解答时, 要注意知识 之间的联系,善于发现各种信息之间的结合点,从中提炼出所需的知识点,用来解决问题。 五、创新题一隅 1、已知:如图7,在 ABC 中, ABC 90, O 是 AB 上一点,以O 为圆心, OB 为半径的圆与AB 交于点 E,与 AC 切于点 D,连结 DB、DE、OC。 从图中找出一对相似三角形(不添加任何字母和辅助线),并证明你的结论; 若 AD 2,AE1,求 CD 的长。 图 7 2、如图 8,等腰梯形ABCD 中, AD BC, DBC 45,翻折梯形ABCD ,使点 B 重合于点D,折痕分别交AB 、BC 于点 F、E若 AD=2 ,BC8, 求: (1)BE 的长;(2) CDE 的正切值 参考答案: 1、 (略; CD3. 2、(1) BE=5 ; (2)tanCDE = 3/5. 图 8 F E D C B A
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