初中联赛题型解读五:二次函数.pdf
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1、a 0 向下 3 ( , ) 联赛题型解读之五二次函数 函数是代数知识的的大熔炉, 也是代数和几何的纽带, 数形结合思想在函数中得到淋漓 的展现。 下面我们通过统计近15 年初中数学联赛中数论与组合的分值(注:至少在结构和形式 上是对函数的考察才会计入分值统计), 帮助大家更好的了解二次函数在联赛中的分值比重。 整体来看 , 函数基本维持在每年一题, 考察的分值最高达32 分(一道一试题一道二试 题) , 而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟随几年的低峰。 我们可以认为在接下来一两年内可能会考察两道题(一道一试题一道二试题)。 二次函数拥有有一元二次方程的许多技巧和问题, 结合函数图像也有几
2、何的性质和问题。 1 .二次函数y ax 2 bx c(a 0)或 y a(x h) 2 k (a 0 )的性质 (1)开口方向: a 0 向上 (2) 对称轴: x b 2a (或x h ) ( )顶点坐标: b 4ac b 2 (或(h, k ) ) (4)最值: 2a 4a 一、“ 二次函数 ” 真题分值分析 35 20012016年联赛函数考察分值 32 30 27 27 25 25 20 14 14 15 10 7 7 7 7 7 7 5 0 0 0 0 0 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 201
3、3 2014 2015 2016 二、二次函数的知识与技巧 0 0 图1 图2 时有最小值 4ac b 2 (或 4a )(如图 1);时有最大值 4ac b 2 (或 4a )(如 图2); (5)单调性:二次函数y ax 2 bx c ( a 0 )的变化情况(增减性) 如图 1 所示 ,当 a 0 时,对称轴左侧 x b 2a , y 随着x 的增大而减小,在对称轴的 右侧x b , 2a y 随x 的增大而增大; 如图 2 所示 ,当 a 0 时,对称轴左侧 x b 2a , y 随着 x 的增大而增大 ,在对称轴 的右侧x b , 2a y 随x 的增大而减小; (6)与坐标轴的交点
4、: 与y 轴的交点:( 0,C); 与x 轴的交点:使方程 ax 2 bx c 0 (或 a(x h) 2 k 0 )成立的 x 值 (7)若抛物线与坐标轴的三个交点构成直角三角形,则有 a 1 . 2 .二次函数的常见问题 一般来说二次函数有五大类问题 (1)图像与系数的关系 绝对值方程;分式方程;根式方程; (2)图像变换 平移;轴对称;中心对称;绝对值函数 (3)区间最值 利用函数单调性,寻找给定区间上的最值 (4)函数与方程不等式 利用数形结合懒一元二次方程,二次不等式问题. (5)代几综合题 结合全等 ,相似圆等 y O x a ka k 二次函数在联赛中考察的题型基本与我们总结的五
5、类题型一致, 近几年在数形结合上考察的 较为频繁 ,其中 2012 年在二试考察了一道二次函数题目,类似武汉中考压轴题的考法。 1、二次函数的图像 (1)含绝对值二次函数 含绝对值的函数最重要的是观察图像以及对称轴 【例 1】 (2006 年联赛)函数y x 2 2006 x 2008 的图象与x 轴交点的横坐标之和等于 【解析】 原方程可转化为求方程x 2 2006 x 2008 0 的所有实根之和 若实数 x0 为方程的根 ,则其相反数x0也为该方程的根,所以 ,方程的所有实根之和为 0 ,即与 x 轴交点的横坐标之和为0 (2)图像与系数 【例 2】 (2005 年联赛)已知二次函数 f
6、 xax 2 bx c 的图象如图所示 ,记 p a b c 2a b , q a b c 2a b , 则() A p q B p q C p q D p 、q 大小不能确定 【解析】 由 题意得: a 0 , b 0 , c 0 , p a b 2a b , q a b 2a b 又 b 2a 1 ,b 2a ,2a b 0 ,从而 a b a 0 p a b 2a b b a 2a b 2b a , q a b 2a b a b b 2a 2b a , p q ,选 C 【例 3】 已知二次函数y ax 2 bx 1(a 0) 的图象的顶点在第二象限, 且过点(1, 0) .当 a b
7、为整数时 , ab () A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 4 【解析】B依题意知 a 0, b 2a 4 0, a b 1 0, 故b 0,且b a 1, a b a ( a 1) 2a 1,于是1a 0,1 2a 11 又a b为 整数 ,2a 1 0, 故a 1 b, ab 1 ,故选 B. 2 4 01 三、联赛中二次函数的考察方式 (3)与坐标轴 【例 4】 (2007 年联赛)设m , n 为正整数 , 且m 2 , 如果对一切实数t , 二次函数 y x 2 (3 mt)x 3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离不小于2t n , 求m ,n 的值 【解析】 因为一元二
8、次方程x 2 (3 mt)x 3mt 0 的两根分别为 mt 和3 , 所以二次函数 y x 2 (3 mt)x 3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离为 mt 3 由题意 , mt 3 2t n ,即 (mt 3) 2 (2t n) 2 ,即 (m 2 4)t 2 (6m 4n)t 9 n 2 0 由题意知 , m2 4 0 ,且上式对一切实数 t 恒成立 ,所以 m 2 40 m 2m 2 (6m 4n) 2 4(m 2 4)(9 n 2 ) 0 4(mn 6) 2 0 mn 6 所以 m 3 或m 6 . n 2 n 1 2、与方程、不等式 (1)一元二次方程 这类问题一般是披着二次
9、函数外衣的一元二次方程问题。 【例 5】 (2010 年联赛)已知二次函数yx 2 bxc 的图象经过两点 P 1,a ,Q 2,10a (1)如果a , b , c 都是整数 , 且c b 8a , 求 a , b , c 的值 (2)设二次函数y x 2 bx c 的图象与 x 轴的交点为A 、 B , 与y 轴的交点为 C 如果关于 x 的方程 x2 bx c 0 的两个根都是整数 , 求ABC 的面积 【解析】 点 P 1,a 、 Q 2,10a 在二次函数yx 2 bxc 的图象上 , 故1bca, 4 2a c 10a ,解得b 9a 3 , c 8a 2 ( 1)由c b 8a
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