初中联赛题型解读九:组合.pdf
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1、联赛题型解读之九组合 组合为中学竞赛的两大组成部分之一, 每年联赛中都会考察1 道组合题 , 组合中的计数、 概率、抽屉、容斥、极端原来等知识和技巧在各类试题中经常得到运用。 下面我们通过统计近15 年初中数学联赛中组合的分值(注:至少在结构和形式上是对 组合的考察才会计入分值统计), 帮助大家更好的了解组合在联赛中的比重。 总结这几年来初中数学联赛的题型考察,组合一般至少会考察一道题,近五年分值最高达 到 14 分(2 道一试题) ,结合趋势来看数论的考察趋近于平稳,组合在一试考察1 道题。 组合这一块在初中基本建立在小学的计数、概率等问题之上,不过抽屉、归纳、极端情 况等方法性的要求在大大
2、增加, 同时会结合数论以及几何的方式进行考察。值得注意的是从 从 2007 年开始概率是组合的一大热门考点。 初中阶段的组合更多的与小学接轨,这里介绍常见的3 种工具以及3 种常见问题。 1.三大原理 (1)抽屉原理 (2)容斥原理 (3)极端原理 2.三大类问题 (1)计数问题 加法原理;乘法原理;几何计数;数论计数;组合排列. (2)概率问题 计数型概率;几何型概率;事件型概率. 一、“ 组合” 真题分值分析 20012016 年联赛组合考察分值 16 14 14 14 14 12 10 8 7 7 7 6 7 7 7 7 7 7 7 7 4 2 0 0 0 2001 2002 2003
3、2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 二、数论与组合的知识与技巧 (3)最值问题 数论最值;极端原理. 计数问题是初中阶段的主要考察方式,结合近 6 年联赛试题看来,由计数问题引申的概率问 题是一个主流方向。结合历年的真题看来, 联赛中的组合题考察方式还是非常丰富的,抽屉原 理与容斥原理、极端原理等都应用的很丰富。 1、周期问题 【例 1】 (1993 年联赛)放有小球的1993 个盒子从左到右排成一行, 如果最左面的盒里有 7 个小球 , 且每四个相邻的盒里共有30 个小球 , 那么最右面的盒里有个
4、小球 【解析】 设从左到右小盒里的球数为7, a2 , a3 , , a1993 7 a2 a3 a4 30 , a2 a3 a4 a5 30 a5 7 , 同理 a9 a13 a17 a4k 1 a1993 7 2、染色问题 【例 2】 (2013 年联赛) 将一根正方体的表面都染成红色,再切割成n 3 (n2) 个相同的小正 方体。若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相 同, 则n。 【解析】 一面红色的小正方体有6 n2 2 个, 没有红色的小正方体有n2 3 个, 所以 6 n2 2 n2 3 n8 。 3、计数 (1)数列型 【例 3】 (2008 年联赛
5、)依次将正整数1, 2, 3, 的平方数排成一串: 149162536496481100121144, 排在第1 个位置的数字是1, 排在第5 个位置的数 字是 6, 排在第 10 个位置的数字是4, 排在第 2008 个位置的数字是 【解析】 12 到3 2 , 结果都只各占 1 个数位 , 共占1 3 3 个数位; 4 2 到92 , 结果都只各占 2 个数位 ,共占2 6 12 个数位; 10 2 到312 , 结果都只各占 3 个数位 , 共占3 22 66 个数位; 32 2 到 992 , 结果都只各占 4 个数位 , 共占4 68 272 个数位; 100 2 到3162 , 结
6、果都只各占 5 个数位 , 共占5 217 1085 个数位; 此时还差 2008 (3 12 66 272 1085) 570 个数位 317 2 到 4112 , 结果都只各占 6 个数位 , 共占695570个数位 所以 , 排在第 2008 个位置的数字恰好应该是4112 的个位数字 , 即为 1 (2)数论型 【例 4】(2012 年联赛)由1, 2, 3, 4 这四个数字组成四位数 abcd (数字可重复使用) , 要求满足a cb d.这样的四位数共有() A36 个 . B40 个. C44 个. D48 个 . 【解析】 根据使用的不同数字的个数分类考虑: (1)只用 1 个
7、数字 , 组成的四位数可以是1111, 2222, 3333, 4444, 共有 4 个. (2)使用 2 个不同的数字 , 使用的数字有6 种可能( 1、2, 1、3,1、4,2、3, 2、 三、联赛中组合的考察方式 4, 3、4).如果使用的数字是1、2, 组成的四位数可以是1122, 1221, 2112, 2211, 共有 4 个;同样地 ,如果使用的数字是另外5 种情况 , 组成的四位数也各有4 个 .因此 , 这样的四位数共有6424 个. (3)使用3 个不同的数字 , 只能是1、2、2、3 或 2、 3、3、4, 组成的四位数可 以是1232, 2123, 2321, 3212
8、, 2343, 3234, 3432, 4323, 共有 8 个. (4)使用 4 个不同的数字1, 2, 3, 4, 组成的四位数可以是1243, 1342, 2134, 2431, 3124, 3421, 4213, 4312, 共有 8 个. 因此 , 满足要求的四位数共有424 8844 个 . 4、概率 概率题是 07 年以后新添的题型,也是当前的热门考点,主要是计数型的,包括几何计数和 组合计数 ,故而要求考生了解计数原理,合理分类筛选 ,做到不重不漏。 【例 5】 (2009 年联赛)设正方形ABCD 的中点为点 O , 在以五个数A 、B 、 C 、D 、O 为顶点所构成的所有
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