初中联赛题型解读四:一元二次方程.pdf
《初中联赛题型解读四:一元二次方程.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中联赛题型解读四:一元二次方程.pdf(8页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、联赛题型解读之(四)一元二次方程 一元二次方程是初中的重要知识模块, 向上承接了代数式, 向下引申了二次函数。在初 中竞赛中一元二次方程可以考察的题型非常多,在早些年的联赛中整数根问题基本必考,近些 年在公共根、有理根、方程构造等问题上也作了考察。一般来说,联赛会在一试和二试中分 别考察 1 道一元二次方程的问题, 一试中重点在根系关系上, 二试放在特殊根问题上。 下面我们通过统计近15 年初中数学联赛中一元二次方程的分值(注:至少在结构和形 式上是对方程尤其是一元二次方程的考察才会计入分值统计),帮助大家更好的了解一元二 次方程这个模块在联赛中的分值比重。 和我们上面总结的一样, 联赛中一元
2、二次方程的分值相对来说比较平稳,基本在 32 分 左右(一试和二试各1 道题)。 一试会考察根系关系,难度基本较小,不过会结合乘法公式, 不 等式最值甚至数形结合等方面;二试一般是考察特殊根问题。方程特殊根问题已经研究的相 对比较成熟了 , 我们学生如果想要在这方面做到拿满分还是非常容易的。 1.一次方程组的概念与解法 对于一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 (1) 判别式 : b2 4ac 一、“ 一元二次方程 ” 真题分值分析 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 45 20012016 年联赛二次方程考察分值 45 39 39 34 32 32 27 2
3、7 21 20 14 7 7 7 0 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 二、一元二次方程的基础知识与常见问题 x 2 x 1 (2)求根公式 : x1,2 b b 2 4ac , 0 2a (3) x x 根系关系: 1 2 x1 x2 b a c a (4)一元二次方程的四种解法:开方;配方;公式法;因式分解. 2.一元二次方程的常见问题 简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的10 种常见因式分解的方法 (1)可转化为一元二次方程 绝对值方程;分式方程;根式方程; (
4、2)判别式 利用判别式的非负性 (3)根系关系 通过根的性质或方程,找到系数之间的关系或方程 (4)整数根 只有整数根;有整数根;至少一个整数根. (5)有理根 根全为有理数;有有理数根 (6)公共根 有公共根 (7)一元二次方程根的分布 两根的范围与系数之间的关系 (8)方程的构造 根据:代数式的结构,判别式 ,根系关系等 让我们看看近20 年联赛中 , 对一元二次方程的相关题型考察。 1、可转化为一元二次方程的方程 绝对值方程 ,分式方程 ,根式方程常常转化为一元二次方程来处理。 【例 1】 (2006 年联赛)关于x 的方程a 仅有两个不同的实根, 则实数a的取值范围 是() Aa 0B
5、 a4 C2 a 4D0 a 4 【解析】 D当a 0 时,无解;当a 0 时, x 0 ,不合题意; x 2 当a 0 时,方程化为 x 1 a ,整理得 x 2 ax a 0 或x 2 ax a 0 这两个方程的判别式分别为a 2 4a 和a 2 4a 1 2 0 ,原方程仅有两个不同实根,所以 a 2 4a 0 ,从而0 a 4 2 1 三、联赛中一元二次方程的考察方式 x 1 1 a2007 2 b2007 2 ,即 x 4 2 x 2 n n 2 【例 2】 (1994 年联赛)若方程 () x 有两个不相等的实根, 则实数 p 的取值范围是 A p 0 B p 1 4 C0 p 1
6、 4 D p 1 4 【解析】 解法一:本题可以用特殊值法,排除不合理的选项: 取 p 1,代入原方程得 x ,即 x 2 x 1 0 此时 ,方程有一个负根,于 是可排除A,B取 p 1,代入原方程得 x 2 x 1 0 ,无解 ,故排除 D,因此 ,应 选 C 解法二:两边平方可得:x2 x p 0 , 由方程有两不等实根可知: 1 4 p 0 ,即:p 1 , 4 这时 ,一定要注意 ,开始我们两边平方的时候是在x 0时才能进行的 , 因此有 x1 1 1 4 p 0 1 2 1 4 p 0 ,则: p 0 , 同时还要考虑x p ,即: 1 综上所述 ,可得:0 p 1 , 4 p ,
7、化简可得:4 p2 0 , 2 可见我们用特殊值法比直接求出结果简洁,节省时间 2、判别式 多个参数的二次方程可以将期中一个字母当做未知数利用判别式的非负性得到不等式 往往可以得到出其不意的结果。 【例 3】 (2012 年竞赛)如果关于x 的方程 x 2 kx 3 k 2 3k 9 0的两个实数根分别为 x , 4 2 1 x 2011 x , 那么 1 的值为 2 2012 2 【解析】 2 根据题意 ,关于 x 的方程有k 2 4 3 k 2 3k 9 0 , 3 由此得k 3 2 0 又k3 2 0 ,所以k3 2 0 ,从而k 3 . 此时方程为 x 2 9 3 2011 1 1 2
8、 3x 4 0 ,解得x1 x2 2 .故 x 2012 x 3 3、根系关系 (1) 求值 【例 4】 (2007 年联赛)对于一切不小于2 的自然数n , 关于x 的一元二次方程 x 2 (n 2)x 2n 2 0 的两个根记作a , b (n 2 ) , 则 1 a2 2b2 2 1 a3 2b3 2 = 【解析】 1003 由根与系数的关系得ab n 2 , a b2n 2 ,所以 4016 n n n n (a 2)(b 2) a b 2(a b ) 4 2n 2 2(n 2) 4 2n(n 1) , n n n n n n x p 1 4 p 3 1 1 2 2 3 则 1 1 1
9、 (1 1 ) , (an 2)(bn 2) 2n(n 1) 2 n n 1 1 1 (a2 2)(b2 2) (a3 2)(b3 2) 1 ( 1 1 ) (1 1) ( 1 1 ) 1 (1 1 ) 1003 2 23 3 4 2007 2008 2 2 2008 4016 (2) 根之间的关系 【例 5】 (1998 年联赛)如果方程x 2 px 1 0 p 0的两根之差是1,那么 p 的值为 () A2 B4 CD 【解析】 不妨设两根为 a,b a b ,则有 a b p, ab 1, a b 1 所以 p 2 ab 2 ab 2 4ab145 ,所以p (3) 结合方程 【例 6】
10、(2012 年联赛 )若方程x 2 2 px 3 p 2 0 的两个不相等的实数根x1 , x2 满足 x 2 x 3 4 (x 2 x 3 ), 则实数 p 的所有可能的值之和为( ) A0 BC1 4 D 5 4 【解析】B.由一元二次方程的根与系数的关系可得x1 x2 2 p , x1 x2 3 p 2 ,所以 x 2 x 2 (x x ) 2 2x x 4 p 2 6 p 4 , 1 2 1 2 1 2 x 3 x 3 (x x )( x x ) 2 3x x 2 p(4 p 2 9 p 6) . 1 2 1 2 1 2 1 2 又由x 2 x 3 4 (x 2 x 3 ) 得 x 2
11、 x 2 4 (x 3 x 3 ) , 1 1 2 2 1 2 1 2 所以 4 p 2 6 p 4 4 2 p(4 p 2 9 p 6) ,所以p(4 p3) (p1) ,所以 p 0 , p 3 , p .代入检验可知: p 0, p 3 均满足题意 , p 1 1 2 4 3 1 2 4 3 不满足题意.因此 ,实数 p 的所有可能的值之和为 p p 0 ( 3) 3 . 1 2 4 4 (4) 与不等式 【例7】 (2009 年联赛)已知t 是实数 , 若a , b 是关于 x 的一元二次方程 x2 2x t 1 0 的两个非负实根, 则 a 2 1 b 2 1 的最小值是 【解析】3
12、 a b 2, ab t 1 ,又由 0 知1 t 2 于是 a 2 1 b 2 1a 2b2 1a 2 b 2 t 2 4 于是当t 1 时代数式有最小值 3 4、方程的构造 1 (a2007 2)(b2007 2) 5 5 2 6 6 2 2 2 2 1 1 1 1 1 (1) 利用根的定义 【例 8】 (2008 年联赛)设a2 1 3a ,b 2 1 3b , 且a b , 则代数式 1 a2 1 的值为( ) b2 A5 B7 C9 D11 【解析】 由题设条件可知 a 2 3a 1 0 , b 2 3b 1 0 ,且 a b , 所以a , b 是一元二次方程x2 3x 1 0 的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初中 联赛 题型 解读 一元 二次方程
链接地址:https://www.31doc.com/p-5586294.html