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1、第一章勾股定理单元测试卷 一选择题(共12 小题) 1如图,四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 互相垂直,若AB=3,BC=4,CD=5,则 AD 的 长为() A3B4 C2D4 (第 1 题) (第 4 题) (第 5 题) 2 ABC 中, A, B, C 的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定ABC 为直 角三角形的是() A A+B=CB A: B: C=1:2:3 Ca 2 =c 2b2 Da: b:c=3:4:6 3三角形的三边长a,b,c 满足 2ab=(a+b) 2c2,则此三角形是( ) A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D等边三角形 4如图,在ABC 中, C
2、=90 ,AC=2,点 D 在 BC 上, ADC=2B,AD=,则 BC 的长为() A1 B+1 C 1 D+1 5如图所示, ABC 的顶点 A、B、C 在边长为1 的正方形网格的格点上,BDAC 于点 D, 则 BD 的长为() ABCD 6以下列各组线段为边长,能构成直角三角形的是() A1,1,B3,4,5 C5, 10,13 D2,3,4 7如图,一轮船以16 海里 /时的速度从港口A 出发向东北方向航行,另一轮船以12 海里 / 时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行,离开港口2 小时后,则两船相距() A25 海里B30 海里C40 海里D50 海里 (第 7 题) (第
3、9 题) (第 10 题) 8 ABC 中,边 AB=15,AC=13,高 AD=12,则 ABC 的周长是() A42 B32 C42 或 32 D不能确定 9如图,在 RtABC 中,ACB=90 , AB=,BC=2, 则这个直角三角形的面积为() A3 B6 CD 10如图, 有 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若大正方形面积 是 17,小正方形面积是5,直角三角形较长直角边为a,较短直角边为b,则 ab 的值是 () A4 B6 C8 D10 11如图所示,有一个由传感器A 控制的灯,要装在门上方离地高4、5m 的墙上,任何 东西只要移至该灯5m 及 5m 以
4、内时,灯就会自动发光请问一个身高1、5m 的学生要 走到离墙多远的地方灯刚好发光?() A4 米B3 米C5 米D7 米 (第 11 题) (第 12 题) 12如图表示的是一个十字路口,O 是两条公路的交点,点A、B、C、D 表示的是公路上 的四辆车,若OC=8cm,AC=17cm,AB=5cm,BD=10m,则 C,D 两辆车之间的距 离为() A5mB4mC3mD2m 二填空题(共5 小题) 13如图,在ABC 中, AB=AC=4,AO=BO,P 是射线 CO 上的一个动点,AOC=120 , 则当 PAB 为直角三角形时,AP 的长为 (第 13 题) (第 14 题) (第 15
5、题) 14如图,一架10 米长的梯子斜靠在墙上,刚好梯顶抵达8 米高的路灯当电工师傅沿梯 上去修路灯时,梯子下滑到了B处,下滑后,两次梯脚间的距离为2 米,则梯顶离路 灯米 15如图,将一根长24cm 的筷子,置于底面直径为5cm,高为 12cm 的圆柱形茶杯中,设 筷子露在杯子外面的长为acm(茶杯装满水) ,则 a 的取值范围是 16如图,四边形ABCD 中, AD=3,CD=4, ABC=ACB=ADC=45 ,则 BD 的长 为 17如果矩形的周长是14cm,相邻两边长之比为3:4,那么对角线长为cm 三解答题(共5 小题) 18一架梯子长25 米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7 米,
6、 (1)这个梯子的顶端距地面有多高? (2)如果梯子的顶端下滑了4 米到 A ,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米? 19在 ABC 中, CD 是 AB 边上的高, AC=4,BC=3,DB = 求: (1)求 AD 的长;(2) ABC 是直角三角形吗?为什么? 20如图, AB=BC=CD=DE=1,且 BCAB,CD AC,DEAD,求线段 AE 的长 21如图,在Rt ABC 中, A=90 ,边 BC 的垂直平分线DE 交 AB 于点 E,连接 CE 求证: BE 2=AC2+AE2 22 (1)如图( 1) ,分别以 RtABC 三边为直径向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2
7、, S3表示,写出 S1, S2,S3之间关系(不必证明) (2)如图( 2) ,分别以 RtABC 三边为边向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示, 确定它们的关系证明; (3)如图( 3) ,分别以 RtABC 三边为边向外作正三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示, 确定它们的关系并证明 参考答案 一选择题(共12 小题) 1如图,四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 互相垂直,若AB=3,BC=4,CD=5,则 AD 的 长为() A3B4 C 2D4 【解答】 解:在 RtAOB 中, AO2=AB2BO 2; RtDOC 中可得: DO 2 =DC 2CO2; 可得
8、AD 2=AO2+DO2=AB2BO2 +DC 2CO2=18, 即可得 AD=3 故选 A 2 ABC 中, A, B, C 的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定ABC 为直 角三角形的是() A A+B=CB A: B: C=1:2:3 Ca 2=c2b2 Da:b:c=3:4:6 【解答】 解: A、 A+B=C,又 A+B+C=180 ,则 C=90 ,是直角三角形; B、 A: B: C=1:2:3,又 A+ B+C=180 ,则 C=90 ,是直角三角形; C、由 a 2=c2b2,得 a2+b2=c2,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形; D、3 2+4262,不符合勾股
9、定理的逆定理,不是直角三角形 故选 D 3三角形的三边长a,b,c 满足 2ab=(a+b) 2c2,则此三角形是( ) A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D等边三角形 【解答】 解:原式可化为a2+b2=c2, 此三角形是直角三角形 故选: C http:/www 、czsx、com、cn 4如图,在ABC 中, C=90 ,AC=2,点 D 在 BC 上, ADC=2B,AD=,则 BC 的长为() A1 B+1 C1 D+1 【解答】 解: ADC=2B, ADC=B+BAD, B=DAB, DB=DA=5, 在 RtADC 中, DC=1, BC=+1 故选 D 5如图所示, ABC
10、 的顶点 A、B、C 在边长为1 的正方形网格的格点上,BDAC 于点 D, 则 BD 的长为() ABC D 【解答】 解: ABC 的面积 = BC AE=2, 由勾股定理得,AC=, 则 BD=2, 解得 BD=, 故选: A 6以下列各组线段为边长,能构成直角三角形的是() A1,1,B3,4,5 C 5,10, 13 D2, 3,4 【解答】 解: A、12+12 ()2,不能构成直角三角形,故此选项错误; B、3 2+42=52,能构成直角三角形,故此选项正确; C、5 2+102 132,不能构成直角三角形,故此选项错误; D、2 2+3242,不能构成直角三角形,故此选项错误
11、故选 B 7如图,一轮船以16 海里 /时的速度从港口A 出发向东北方向航行,另一轮船以12 海里 / 时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行,离开港口2 小时后,则两船相距() A25 海里B30 海里C 40 海里D50 海里 【解答】 解:连接 BC, 由题意得: AC=16 2=32(海里), AB=12 2=24(海里), CB=40(海里), 故选: C 8 ABC 中,边 AB=15,AC=13,高 AD=12,则 ABC 的周长是() A42 B32 C 42 或 32 D不能确定 【解答】 解:此题应分两种情况说明: (1)当 ABC 为锐角三角形时,在RtABD 中, B
12、D=9, 在 RtACD 中, CD=5 BC=5+9=14 ABC 的周长为: 15+13+14=42; (2)当 ABC 为钝角三角形时, 在 RtABD 中, BD=9, 在 RtACD 中, CD=5, BC=95=4 ABC 的周长为: 15+13+4=32 当 ABC 为锐角三角形时,ABC 的周长为42;当 ABC 为钝角三角形时,ABC 的周 长为 32 综上所述, ABC 的周长是42 或 32 故选: C 9如图,在 RtABC 中,ACB=90 , AB=,BC=2, 则这个直角三角形的面积为() A3 B6 CD 【解答】 解: 在 RtABC 中, ACB=90 ,A
13、B=,BC=2, AC=3, 这个直角三角形的面积=AC?BC=3, 故选 A 10如图, 有 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若大正方形面积 是 17, 小正方形面积是5, 直角三角形较长直角边为a, 较短直角边为b, 则 ab 的值是() A4 B6 C 8 D10 【解答】 解:根据勾股定理可得a 2+b2=17, 四个直角三角形的面积是:ab 4=175=12, 即: ab=6 故选: B 11如图所示,有一个由传感器A 控制的灯,要装在门上方离地高4、5m 的墙上,任何 东西只要移至该灯5m 及 5m 以内时,灯就会自动发光请问一个身高1、5m 的学生要走到
14、离墙多远的地方灯刚好发光?() A4 米B3 米C 5 米D7 米 【解答】 解:由题意可知BE=CD=1、5m, AE=ABBE=4、51、5=3m,BD=5m 由勾股定理得CE=4m 故离门 4 米远的地方,灯刚好打开, 故选 A 12如图表示的是一个十字路口,O 是两条公路的交点,点A、B、C、D 表示的是公路上 的四辆车,若OC=8cm,AC=17cm, AB=5cm, BD=10m,则 C,D 两辆车之间的距离为 () A5mB4mC 3mD2m 【解答】 解:在 RTAOC 中, OA 2+OC2=AC2, OA=15(m) , OB=0A+AB=20m, 在 RTBOD 中, B
15、D 2=OB2+OD2, OD=10(m) , CD=OD OC=2m, 故选: D 二填空题(共5 小题) 13如图,在ABC 中, AB=AC=4,AO=BO,P 是射线 CO 上的一个动点,AOC=120 , 则当 P AB 为直角三角形时,AP 的长为2 或 2 【解答】 解:当 APB=90 时,分两种情况讨论, 情况一:如图1, AO=BO, PO=BO, AOC=120 , AOP=60 , AOP 为等边三角形, OAP=60 , PBA=30 , AP=AB=2; 情况二:如图2, AO=BO, APB=90 , PO=BO, AOC=120 , BOP=60 , BOP 为
16、等边三角形, OBP=60 , AP=AB? sin60 =4=2; 当 BAP=90 时,如图3, AOC=120 , AOP=60 , AP=OA? tanAOP=2=2 故答案为: 2 或 2 14如图,一架10 米长的梯子斜靠在墙上,刚好梯顶抵达8 米高的路灯当电工师傅沿梯 上去修路灯时,梯子下滑到了B处,下滑后,两次梯脚间的距离为2 米,则梯顶离路灯2 米 【解答】 解:在直角三角形AOB 中,根据勾股定理,得: OB=6m, 根据题意,得:OB=6+2=8 m 又梯子的长度不变, 在 RtAOB 中,根据勾股定理,得:OA=6m 则 AA=8 6=2m 15如图,将一根长24cm
17、的筷子,置于底面直径为5cm,高为 12cm 的圆柱形茶杯中,设 筷子露在杯子外面的长为acm(茶杯装满水) ,则 a 的取值范围是11cm a12 cm 【解答】 解:当筷子与杯底垂直时h 最大, h最大=2412=12cm 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a 最小, 如图所示:此时,AB=13cm, 故 a=2413=11cm 所以 a 的取值范围是:11cm a12 cm 故答案是: 11cm a12 cm 16如图,四边形ABCD 中, AD=3,CD=4, ABC=ACB=ADC=45 ,则 BD 的长为 【解答】 解:作 AD AD,AD= AD,连接 CD ,DD ,如图: B
18、AC+ CAD=DAD+ CAD, 即 BAD=CAD, 在 BAD 与 CAD 中, , BAD CAD (SAS ) , BD=CD DAD =90 由勾股定理得DD =3, D DA+ADC=90 由勾股定理得CD=, BD=CD=, 故答案为: 17如果矩形的周长是14cm,相邻两边长之比为3:4,那么对角线长为5cm 【解答】 解:设矩形的相邻两边的长度分别为3acm,4acm, 由题意 3a+4a=7,a=1, 所以矩形的相邻两边分别为3cm,4cm, 所以对角线长 =5cm, 故答案为5 三解答题(共5 小题) 18一架梯子长25 米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7 米, (1)
19、这个梯子的顶端距地面有多高? (2)如果梯子的顶端下滑了4 米到 A ,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米? 【解答】 解: (1)由题意得: AC=25 米, BC=7 米, AB=24(米) , 答:这个梯子的顶端距地面有24 米; (2)由题意得:BA=20 米, BC=15(米) , 则: CC=15 7=8(米) , 答:梯子的底端在水平方向滑动了8 米 19在 ABC 中, CD 是 AB 边上的高, AC=4,BC=3,DB = 求: (1)求 AD 的长; (2) ABC 是直角三角形吗?为什么? 【解答】 解: (1) CDAB, CDB=CDA=90 , 在 RtBCD 中
20、, BC=3, DB=, 根据勾股定理得:CD=, 在 RtACD 中, AC=4, CD=, 根据勾股定理得:AD=; (2) ABC 为直角三角形,理由为: AB=BD +AD=+=5, AC 2+BC2=AB2, ABC 为直角三角形 20如图, AB=BC=CD=DE=1,且 BCAB,CD AC,DEAD,求线段 AE 的长 【解答】 解: BCAB, CDAC,ACDE, B=ACD=ADE=90 , AB=BC=CD=DE=1, 在 RtACB 中, AC=, 在 RtACD 中, AD=, 在 RtADE 中, AE=2 21如图,在Rt ABC 中, A=90 ,边 BC 的
21、垂直平分线DE 交 AB 于点 E,连接 CE求 证: BE2=AC 2+AE2 【解答】 证明:如图,边BC 的垂直平分线DE 交 AB 于点 E, CE=BE 在 RtABC 中, A=90 , 由勾股定理得到:CE 2=AC2+AE2 BE 2=AC2+AE2 22 (1)如图( 1) ,分别以 RtABC 三边为直径向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2, S3表示,写出 S1, S2,S3之间关系(不必证明) (2)如图( 2) ,分别以 RtABC 三边为边向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示, 确定它们的关系证明; (3)如图( 3) ,分别以 RtABC 三边为边向外作正三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示, 确定它们的关系并证明 【解答】 解: (1) S2+S3=S1, 由三个四边形都是正方形则: S3=AC 2,S 2=BC 2,S 1=AB 2, 三角形 ABC 是直角三角形, AC 2+BC2=AB2, S2+S3=S1 (2) S3= AC 2,S 2=BC 2,S 1=AB 2, 三角形 ABC 是直角三角形, AC 2+BC2=AB2, S2+S3=S1 (3) S1= AB 2, S 2=BC 2,S 3=AC 2, 三角形 ABC 是直角三角形, AC 2+BC2=AB2, S2+S3=S1
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