最新-2018年全国初中数学联合竞赛试题及答案精品.pdf
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1、2018 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题(本题满分42 分,每小题7 分) 1. 设71a,则 32 312612aaa() A.24. B. 25. C. 4 710. D. 4 712. 2在 ABC 中,最大角 A 是最小角 C 的两倍,且AB 7,AC 8,则 BC() A.7 2. B. 10. C. 105. D. 7 3. 3用 x表示不大于x的最大整数,则方程 2 2 30xx的解的个数为() A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 4设正方形ABCD 的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两 个,它们的面积
2、相等的概率为() A. 3 14 . B. 3 7 . C. 1 2 . D. 4 7 . 5如图,在矩形ABCD 中, AB 3,BC2,以 BC 为直径在矩形内作半圆,自点A 作半 圆的切线AE,则sinCBE(D ) A. 6 3 . B. 2 3 . C. 1 3 . D. 10 10 . 6设n是大于 1918 的正整数,使得 1909 2009 n n 为完全平方数的n的个数是() A.3. B. 4. C. 5. D. 6. 二、填空题(本题满分28 分,每小题7 分) 1已知t是实数,若,a b是关于x的一元二次方程 2 210xxt的两个非负实根,则 22 (1)(1)ab的
3、 最小值是 _. 2 设 D 是 ABC 的边 AB 上的一点,作DE/BC 交 AC 于点 E,作 DF/AC 交 BC 于点 F,已知 ADE 、 DBF 的面积分别为m和n,则四边形DECF 的面积为 _. 3如果实数,a b满足条件 22 1ab, 22 |12| 21ababa,则ab_. 4已知,a b是正整数,且满足 1515 2() ab 是整数,则这样的有序数对( , )a b共有 _对. D A B C E 第一试答案:ACCBDB ; 3,2 mn,1,7 第二试(A) 一 (本题满分20 分) 已知二次函数 2 (0)yxbxcc的图象与x轴的交点分别为A、B,与y轴的
4、 交点为 C.设 ABC 的外接圆的圆心为点P. ( 1)证明: P 与y轴的另一个交点为定点. ( 2)如果 AB 恰好为 P的直径且2 ABC S ,求b和c的值 . 解 : (1)易求得点C的坐标为(0, )c,设 1 A(,0)x, 2 B(,0)x,则 12 xxb, 12 x xc. 设 P与y轴的另一个交点为D,由于 AB 、CD 是 P 的两条相交弦,它们的交点为点O,所以 OAOB OCOD,则 12 1 x xc OA OB OD OCcc . 因为0c,所以点C在y轴的负半轴上, 从而点 D 在y轴的正半轴上, 所以点 D 为定点, 它的坐标为 (0,1). ( 2)因为
5、 AB CD,如果 AB 恰好为 P 的直径,则C、D 关于点 O 对称,所以点C的坐标为(0, 1), 即1c. 又 222 121212 ()4()44ABxxxxx xbcb,所以 211 4 12 22 ABC SAB OCb ,解得2 3b. 二 (本题满分25 分)设 CD 是直角三角形ABC 的斜边 AD 上的高, 1 I、 2 I分别是 ADC 、BDC的内心, AC 3, BC4,求 1 I 2 I. 解作 1 IEAB 于 E, 2 IFAB 于 F. 在直角三角形ABC 中, AC3,BC4, 22 AB =AC +BC5. 又 CDAB ,由射影定理可得 2 AC9 A
6、 D = AB5 ,故 16 BD = ABAD 5 , 2212 CD =ACAD 5 . 因为 1 IE 为直角三角形ACD 的内切圆的半径,所以 1 I E 13 (ADCDAC) 25 . 连接 D 1 I、 D 2 I, 则 D 1 I、 D 2 I分别是 ADC 和 BDC 的平分线,所以 1 IDC 1 IDA 2 IDC 2 IDB 45,故 1 ID 2 I 90,所以 1 ID 2 ID, 1 1 1 3 I E3 2 5 DI sinADIsin 455 . F E I1 I2 D B A C 同理,可求得 2 4 I F 5 , 2 4 2 D I 5 . 所以 1 I
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