2018年江苏高考数学二轮复习练习:7_函数零点、单调性、极值等综合问题有答案.pdf
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1、- 1 - 专项限时集训( 七) 函数零点、单调性、极值等综合问题 ( 对应学生用书第125 页) ( 限时: 60 分钟 ) 1( 本小题满分14 分 ) 已知函数f (x) ax 2 bxln x,a,bR. (1) 当b2a1 时,讨论函数f (x) 的单调性; (2) 当a1,b3 时,记函数f (x) 的导函数f (x) 的两个零点分别是x1和x2(x1x2) ,求证:f (x1) f (x2) 3 4ln 2. 【导学号: 56394110】 解 (1) 因为b2a1,所以f (x) ax 2(2 a1)xln x, 从而f (x) 2ax(2a1) 1 x 2ax 2 ax1 x
2、 axx x ,x0. 2 分 当a0时,由f (x) 0 得 0x1,由f (x) 0 得x1, 所以f (x) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间(1 , ) 上单调递减 当 0a 1 2时,由 f (x) 0 得 0x1 或x 1 2a,由 f (x) 0 得 1x 1 2a, 所以f (x) 在区间 (0,1) 和区间 1 2a ,上单调递增,在区间1, 1 2a 上单调递减 当a1 2时,因为 f (x) 0(当且仅当x1 时取等号 ) , 所以f (x) 在区间 (0 , ) 上单调递增 当a1 2时,由 f (x) 0 得 0x 1 2a或 x1,由f (x) 0得 1 2a
3、 x1, 所以f (x) 在区间0, 1 2a 和区间 (1, ) 上单调递增,在区间 1 2a,1 上单调递减 综上,当a0时,f (x)在区间 (0,1) 上单调递增,在区间(1 , ) 上单调递减; 当 0a 1 2时, f (x) 在区间 (0,1)和区间 1 2a, 上单调递增,在区间1, 1 2a 上单调递减; 当a1 2时, f (x) 在区间 (0, ) 上单调递增,无单调递减区间; 当a1 2时, f (x) 在区间0, 1 2a 和区间 (1 , ) 上单调递增,在区间 1 2a , 1 上单调递减 . (2) 法一:因为a1,所以f (x) x 2 bxln x(x0)
4、,从而f (x) 2x 2 bx1 x , - 2 - 由题意知x1,x2是方程 2x 2 bx10 的两个根,故x1x2 1 2. 记g(x) 2x 2 bx1,因为b3,所以g 1 2 3 b 2 0,g(1) 3b0, 所以x1 0, 1 2 ,x2(1 , ) ,且bx12x 2 1 1,bx22x 2 2 1, f (x1) f (x2) (x 2 1x 2 2) (bx1bx2) ln x1 x2 ( x 2 1x 2 2) ln x1 x2, 因为x1x21 2,所以 f (x1) f (x2) x 2 2 1 4x 2 2 ln(2 x 2 2) ,x2 (1 , ) 令t2x
5、 2 2(2 , ) ,(t) f (x1) f (x2) t 2 1 2t ln t. 因为当t2 时,(t) t 2 2t 20,所以(t) 在区间 (2, ) 上单调递增, 所以(t) (2) 3 4ln 2 ,即 f (x1) f (x2) 3 4ln 2. 14 分 法二:因为a1,所以f (x) x 2 bxln x(x 0),从而f (x) 2x 2 bx 1 x , 由题意知x1,x2是方程 2x 2 bx10 的两个根,故x1x2 1 2. 记g(x) 2x 2 bx1,因为b3,所以g 1 2 3 b 2 0,g(1) 3b0, 所以x1 0, 1 2 ,x2(1 , )
6、,且f (x) 在(x1,x2) 上是减函数, 所以f (x1) f (x2) f 1 2 f (1) 1 4 b 2ln 1 2 (1 b) 3 4 b 2ln 2 , 因为b3,所以f (x1) f (x2) 3 4 b 2ln 2 3 4 ln 2.14 分 2( 本小题满分14 分 )( 南通、泰州市2017 届高三第一次调研测试) 已知函数f (x)ax 2 xln x,a R. (1) 当a 3 8时,求函数 f (x) 的最小值; (2) 若1a0,证明:函数f (x) 有且只有一个零点; (3) 若函数f (x) 有两个零点,求实数a的取值范围 解 (1) 当a 3 8时, f
7、 (x) 3 8x 2xln x. 所以f (x) 3 4x 1 1 x xx 4x (x0) 令f (x) 0,得x2, - 3 - 当x(0,2)时,f (x) 0;当x(2 , ) 时,f (x) 0, 所以函数f (x)在(0,2) 上单调递减,在(2 , ) 上单调递增 所以当x2 时,f (x) 有最小值f (2) 1 2ln 2. 3 分 (2) 证明:由f (x) ax 2x ln x,得f (x) 2ax1 1 x 2ax 2 x1 x ,x0. 所以当a0 时,f (x) 2ax 2 x1 x 0, 函数f (x) 在(0, ) 上单调递减, 所以当a0 时,函数f (x)
8、 在(0, ) 上最多有一个零点 因为当 1a0时,f (1) a10,f 1 e e 2e a e 20, 所以当 1a0时,函数f (x) 在(0 , ) 上有零点 综上,当 1a0 时,函数f (x)有且只有一个零点. 7 分 (3) 法一:由 (2) 知,当a0 时,函数f (x) 在(0 , ) 上最多有一个零点 因为函数f (x)有两个零点,所以a 0. 由f (x) ax 2xln x,得f (x) 2ax 2 x1 x (x0),令g(x) 2ax 2x1. 因为g(0) 10,2a0, 所以函数g(x) 在(0 , ) 上只有一个零点,设为x0. 当x(0 ,x0) 时,g(
9、x) 0,f (x) 0;当x(x0, ) 时,g(x) 0,f (x) 0. 所以函数f (x)在(0 ,x0)上单调递减;在(x0, ) 上单调递增 要使得函数f (x) 在 (0 , ) 上有两个零点, 只需要函数f (x) 的极小值f (x0) 0,即ax 2 0x0ln x00. 又因为g(x0) 2ax 2 0x010,所以 2ln x0x0 10, 又因为函数h(x) 2ln xx1 在(0, ) 上是增函数,且h(1) 0, 所以x01,得 0 1 x01. 又由 2ax 2 0x010,得 2a 1 x0 21 x0 1 x0 1 2 21 4, 所以 0a 1. 以下验证当
10、0a1 时,函数f (x) 有两个零点 当 0a1 时,g 1 a 2a a 2 1 a1 1a a 0, 所以 1x0 1 a. - 4 - 因为f 1 e a e 21 e1 e 2 e a e 20,且f (x0) 0. 所以函数f (x)在 1 e, x0上有一个零点 又因为f 2 a 4a a 2 2 aln 2 a 2 a 2 a1 10(因为 ln xx1),且f (x0) 0. 所以函数f (x)在x0, 2 a 上有一个零点 所以当 0a1 时,函数f (x) 在 1 e, 2 a 内有两个零点 . 综上,实数a的取值范围为 (0,1) 下面证明: ln xx 1. 设t(x
11、) x1ln x,所以t(x) 11 x x1 x (x 0) 令t(x) 0,得x 1. 当x(0,1)时,t(x) 0;当x(1 , ) 时,t(x) 0. 所以函数t(x) 在(0,1)上单调递减,在(1 , ) 上单调递增 所以当x1 时,t(x) 有最小值t(1) 0. 所以t(x) x1ln x0,得 ln xx1 成立 . 14 分 法二:由 (2) 知,当a0时,函数f (x) 在(0, ) 上最多有一个零点 因为函数f (x)有两个零点,所以a 0. 由f (x) ax 2xln x0,得关于x的方程a xln x x 2(x0)有两个不等的实数解 又因为 ln xx1, 所
12、以a x ln x x 2 2x1 x 2 1 x1 21( x0) 因为x0 时, 1 x1 2 11,所以a1. 又当a1 时,x1,即关于x的方程a xln x x 2有且只有一个实数解 所以 0a 1. 14 分 ( 以下解法同法一) 3( 本小题满分14 分)( 苏北四市 ( 淮安、宿迁、连云港、徐州)2017 届高三上学期期中) 设函数f (x) ln xax 2 ax,a为正实数 (1) 当a2 时,求曲线yf (x) 在点 (1 ,f (1) 处的切线方程; (2) 求证:f 1 a 0; - 5 - (3) 若函数f (x) 有且只有1 个零点,求a的值 解 (1) 当a2
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