2018年高三最新第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题及参考答案精品.pdf
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1、N M E D A B C N M E D C B A N M E D A B C 第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题及参考答案 第一天 2018 年 8 月 1 日 9:00 12:00 一、( 本题 25 分) 在锐角ABC中,BD、CE分别是AC、AB边上的高 . 以AB为直径 作圆交CE于M,在BD上取点N使ANAM. 证明:ANCN 证法一 :连结DM, 由AB为直径 ,ACBD得A、B、M、D四点共圆 AMDABD. 又AMDABDCAEACE 0 90 ADMAMC 22 ANAMACAD, ANCN( 射影定理的逆定理 ) 证法二:连结BM、EN,则由射影定理, 得 22 AMA
2、NAE AB. AENANB,ANEABN, 又,B C D E四点共圆,ABNACE ANEACE,A E N C四点共圆, 90ANCAEC,即ANCN. 二、( 本题 25分) 设ABC三边长分别为, ,a b c,且3abc. 求 222 4 ( , , ) 3 f a b cabcabc的最小值 . 解: 2224 ( , , ) 3 f a b cabcabc=abccabcabcba 3 4 2 2 =abccabcab 3 2 29 因为, ,a b c是ABC三边长,且3abc,所以 3 0, , 2 a b c, 于是 3 333 3331 222 ()()()() 222
3、38 abc abc 即 27 33 abbccaabc 3 13 3 7 29,cbaf. 等号当且仅当1abc时取到, 故( , , )f a b c的最小值为 13 3 . 三、( 本题 25 分) 在数列 n a中,2007 0 a, 1 2 1 n n n a a a (Nn). 求证:当01004n时,有nan2007 ( 其中 x表示不超过 x的最大整数 ). 证明:先考虑一般问题:设 1 ,0 2 10 n n n a a aa,求证:naan 0 ()2( 2 1 0 0 an) 对于任何正整数 n,由递推公式知0 n a, 由于0 11 2 1 n n n n nnn a
4、a a a aaa,所以有 n aaaa 210 当 n为正整数时,有 ) 1 1 1( 1 )( 11 0 11 1 01 1 0 n ii n ii i i n i in a a a a aaaaa na a na n i i 0 1 1 0 ) 1 1 ( 另一方面,由于)1( 01 naan,且 n aaaa 210 所以,1n时,1 1 1 1 1 0 1 1 aa n i i , 2n时, 1 211 1 0111 na n a n a n n ii ()2),2( 2 1 00 nnaan 总之,1 1 1 11 n ii a , 故有,1) 1 1 ( 0 1 1 0 na a
5、 naa n i i n 所有naan 0 . 取2007 0 a,即得本题 四、( 本题 25 分) 平面上每个点被染为 n 种颜色之一,同时满足: (1) 每种颜色的点都有无穷多个,且不全在同一条直线上; l 3 3 4 B G S E 1 O H F2 P (2) 至少有一条直线上所有的点恰为2 种颜色 . 求 n的最小值,使得存在互不同色的4 个点共圆 . 解:由已知4n,若4n,在平面上取一定圆O及上面三点A、B、C,将弧AB(含A不 含B) ,弧BC(含B不含C) ,弧CA( 含C不含A) ,分别染为1、2、3 色,平面上其他点染 为 4 色,则满足题意且不存在四个不同色的点共圆.
6、 所以5n. 当5n时,假设不存在四个互不同色的点共圆,由条件(2) 知,存在直线l上恰有两种颜 色的点 (设l上仅有颜色 1,2 的点),再由条件 (1) 知存在颜色分别为3,4,5 的点A、B、C 不共线,设过A、B、C的圆为O, 若O与l有公共点,则存在四个互不同色的点共圆,矛盾; 若O与l相离,过O作l的垂线交l于D, 设D的颜色为 1,垂线交O于点E,S,如图, 设E的颜色为 3,考虑l上颜色为 2 的点F,FS交O于G, GFEG,D、E、F、G四点共圆,由假设G只能为 3 色, 又B,C必有一点不同于S,设为B,SB交l于H, BHEB,B,E,D,H四点共圆, SFSGSDSE
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