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1、1 .1 集合的概念与运算 (1)元素a和集合 A之间的关系:aA,或aA; (2)常用数集:自然数集: N 正整数集:*N或N 整数集: Z 有理数集: Q 实数集: R 1.2 子集 (1)定义: A中的任何元素都属于B, 则 A叫 B的子集;记作: AB, 注意: AB时, A 有两种情况:A 与 A (2)性质:AAA,;若CBBA,, 则 CA ; 若ABBA,则A=B; 1.3 真子集 (1) 定义: A是 B的子集, 且 B中至少有一个元素不属于A; 记作: BA ; (2)性质:,AA;若,AB BC, 则AC; 1.4 补集 : (1)定义:记作:,|AxUxxACU 且;
2、(2)性质:AACCUACAACA UUUU )(,; 1.5 交集与并集 (1)交集:|,且ABxxAxBI 性质:AAAA,若BBA, 则AB (2)并集:|,或ABxxAxBU 性质:AAAAA,若BBA, 则BA 1.6 集合运算中常用结论 (1) UU ABAABBABC BC AIU (2)含 n个元素的集合的所有子集有 n 2个 2 2.1二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系: 判别式: =b 2-4 ac 00 0 二次函数 )0()( 2 acbxaxxf 的图象 一元二次方程 )0(0 2 acbxax 的根 有两相异实数根 )(, 2121 xxxx 有两
3、相等实数根 a b xx 2 21 没有实数根 一元二次不等式 )0(0 2 acbxax 的解集 ,| 21 xxxxx “”取两边 2 | a b xxR 一元二次不等式 )0(0 2 acbxax 的解集 | 21 xxxx “”取中间 3.1 简易逻辑 真值表: p 或 q, 同假为假,否则为真; p且 q, 同真为真 , 否则为假; 非 p, 真假相反。 3.2 四种命题 (1)命题的四种形式: 原命题:若p 则 q; 逆命题:若q 则 p; 否命题:若p 则q; 逆否命题:若q 则p; 注意: 互为逆否的两个命题是等价的; “命题的否定”与“否命题” 不同; x1 x2 x y O
4、 x1=x2 x y O x y O 原命题 若 p 则 q 逆命题 若 q 则 p 否命题 若 p 则q 逆否命题 若 q 则p 否 逆 为 互 互 否 互逆 互逆 互 否 互 为 逆 否 3 (2)利用集合之间的包含关系判断命题之间的充要关系 设满足条件p 的元素构成集合A, 满足条件q 的元素构成集合B 若AB, 则 p 是 q 成立的充分条件; 若A B, 则 p 是 q 的充要条件; 若AB, 则 p 是 q 的充分不必要条件; 若,且ABBA, 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件。 第三章 基本初等函数() 函数名称函数的记号函数的图形函数的性质 指数函数 a): 不论 x 为
5、何值 ,y 总为正数 ; b): 当 x=0 时,y=1. 对数函数 a): 其图形总位于y 轴右侧 , 并过 (1,0)点 b): 当 a1 时, 在区 间(0,1)的值为负; 在区 间(- ,+ )的值为正; 在 定义域内单调增. 幂函数 a 为任意实数 这里只画出部分函数图 形的一部分。 令 a=m/n a): 当 m为偶数 n 为奇 数时 ,y 是偶函数 ; b): 当 m,n 都是奇数 时,y 是奇函数 ; c): 当 m奇 n 偶时 ,y 在(- ,0) 无意义 . 4 1.指数运算:,aaa a a p p 0 10 1 0() aaaa a a m n mn m n mn (0
6、 1 0), 2. 对数运算:,logloglog aaa MNMN MN00 logloglogloglog aaaa n a M N MNM n M, 1 对数恒等式:ax ax log 对数换底公式:log log log logloga c c a n ab b a b n m b m 第四章 基本初等函数() 1、角的换算 (1)换算关系 :8157) 180 (1)(180弧度弧度 (2)弧长公式 :rl扇形面积公式 : 2 2 1 2 1 rlrS 2、特殊角的三角函数值 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 180 0 270 sin0 2 1 2 2 2 3 1 0
7、 1 cos1 2 3 2 2 2 1 0 10 tan0 3 3 1 3 不存 在 0 不存 在 3、任意角的三角函数 r y sin, r x cos, x y tan, 三角函数值的符号规律:“一全二正弦,三切四余弦” 5 4、诱导公式:“ 2 k , 奇变偶不变,符号看象限” k22 22 正 弦 sinsinsinsinsincoscos 余 弦 coscoscoscoscossinsin 正 切 tantantantantancotcot 余 切 cotcotcotcotcottantan 5、同角三角函数的基本关系式: 平方关系1cossin 22 ; ; 商式关系 tan co
8、s sin ; 6、两角和与差公式 sinsincoscossinsinsincos 令 22 coscoscossinsincoscossin 令 2 22 tan tantan tantan1 2112 22 cossin tan tan tan 2 2 1 2 cos cos sin cos 2 2 12 2 12 2 7、三角函数的图像和性质 sinyx cosyxtanyx 图像 6 定义域R R 值域 1, 1 1, 1 R 周期性22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 2 2 ,2 2 k k 上为增函 数; 2 2 3 ,2 2 k k 上为减 函数(Zk) 2 ,12 k k
9、 上 为 增 函 数; 12 ,2 k k 上为减函数 (Zk) kk 2 , 2 上 为增函数(Zk) 注意: 1.xysin与xysin的单调性正好相反;xycos与xycos 的单调性 也同样相反一般地,若)(xfy在,ba上递增(减) , 则)(xfy在 ,ba上递减(增) 2.)sin( xy或)cos( xy(0 )的周期 2 T 3. )sin( xy的对称轴方程是 2 kx (Zk) , 对称中心 (0 ,k) ; )cos( xy的对称轴方程是kx(Zk) , 对称中心( 0, 2 1 k ) ; 8.正弦定理: R C c B b A a 2 sinsinsin , Abc
10、Ssin 2 1 ; 余弦定理: ZkkxRxx, 2 1 |且 7 2 a=Abccbcos2 22 cosA= bc acb 2 222 第五章 立体几何 1、.空间两条直线的位置关系: 平行、相交、异面 2、直线与平面 2.1 、位置关系:在面内、相交、平行 2.2 、直线与平面平行 判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么 这条直线和这个平面平行 性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这 个平面相交,那么这条直线和交线平行。 2.3、直线与平面垂直 判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么 这条直线垂直于这个平面 性质定
11、理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行 3、平面与平面 3.1 、位置关系:平行, 相交 3.2 、两个平面平行 判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一平面,那么 这两个平面平行 另:垂直于同一条直线的两个平面平行 性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交 线平行 另:一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,必垂直于另 一个平面 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另 一个平面 3.3 、两个平面垂直 判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平 面互相垂直。 性质定理: 如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它
12、们交线的 直线垂直于另一个平面。 5、简单几何体 ShV棱柱ShV 3 1 棱锥球 V 3 4 R3 第六章 平面向量 1.两个向量共线的充要条件: 向量 b 与非零向量a共线有且仅有一个实数, 使得 b=a 若a=( 11, y x) ,b=( 22,y x)则ab0 1221 yxyx 8 2、向量的数量积: (1)定义:已知两个非零向量a与b, 它们的夹角为, 则 ab=a bcos 其中bcos称为向量b在a方向上的投影 (2) 若 a=( 11, y x),b=( 22, y x)则 ab= 2121 yyxx (3)性质:abab=00 2121 yyxx(a,b为非零向量) ;
13、a= 2 1 2 1 yxaa; cos= ba ba = 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx (3)若点),(),( 2211 yxByxA,则 2 12 2 22 )()(yyxxAB 第七章 平面解析几何 1、直线和圆 1. 直线的倾斜角与斜率: 直线的倾斜角范围是0,, 直线的斜率: B A k xx yy kk,tan 12 12 1. 直线方程的几种形式: 点斜式:)( 00 xxkyy,斜截式:bkxy 1. 两条直线的位置关系 (1)平行:若斜率存在: l1:y=k1x+b1; l2: y=k2x+b2有 l1l2k1=k2且 b1b2; (2)垂直:
14、若斜率存在:l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2有 l1l2k1k2=-1 l1l2k1k2=-1 9 1.4 点到直线的距离公式 点),( 00 yxP到直线0CByAxl:的距离: 22 00 BA CByAx d 1.5 两平行直线间的距离: 两条平行直线00 2211 CByAxlCByAxl:,:距离: 22 21 BA CC d 1.6 圆的方程 (1)圆的标准方程: 222 ()()xaybr. (2)圆的一般方程: 22 0xyDxEyF( 22 4DEF0). 1.7 直线与圆的位置关系: 相离、相切和相交。 判断方法(几何法) :圆心到直线的距离 相离 相切 相交
15、 rd rd rd 弦长问题:利用垂径定理,构造直角三角形解决 2.圆锥曲线 一、椭圆 1椭圆方程的定义: 为端点的线段以 无轨迹 方程为椭圆 212121 2121 2121 ,2 ,2 ,2 FFFFaPFPF FFaPFPF FFaPFPF 平面内与两定点F1, F2 的距离的和为常数(大于 21F F )的点的轨迹。 其中两定点F1, F2 叫焦点,定点间的距离叫焦距。 (1)椭圆的标准方程: i中心在原点,焦点在 x 轴上: )0(1 2 2 2 2 ba b y a x ii 中心在原点,焦点在 y 轴上: )0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 10 几何性质 顶点:
16、),0)(0,(ba 或 ) 0,)(,0(ba 轴:对称轴:x 轴, y轴;长轴长 a2 , 短轴长b2 焦点:)0 ,)(0 ,(cc或),0)(,0(cc焦距: 22 21 ,2baccFF 二、双曲线 1双曲线的定义: 的一个端点的一条射线以 无轨迹 方程为双曲线 212121 2121 2121 ,2 2 2 FFFFaPFPF FFaPFPF FFaPFPF 平面内与两个定点 21,F F 距离的差的绝对值等于 |)|2(2 21F Faa 的点的 轨迹。 (1) 双曲线标准方程: )0,( 1),0,(1 2 2 2 2 2 2 2 2 ba b x a y ba b y a x
17、 (2) i焦点在x 轴上:顶点:)0 ,(),0,(aa, 焦点:) 0,(),0,(cc, 渐近线方程:0 b y a x 或0 2 2 2 2 b y a x ii焦点在y 轴上:顶点:),0(),0(aa焦点:),0(),0(cc渐 近线方程:0 b x a y 或0 2 2 2 2 b x a y 轴yx,为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为2b, 焦距 2c 离心率 a c e (3)等轴双曲线:双曲线 222 ayx称为等轴双曲线,其渐近线方程为 xy, 离心率2e 11 三、抛物线 设0p, 抛物线的标准方程、类型及其几何性质: pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx
18、2 2 图 形 y x O y x O y x O y x O 焦 点 )0, 2 ( p F)0 , 2 ( p F) 2 ,0( p F) 2 ,0( p F 直线与圆锥曲线的位置关系: ( 1)判定方法:联立直线与圆锥曲线方程,消元得关于x(或 y)的一 元二次方程,求出, 根据判定直线与圆锥曲线 的位置关系 ( 2 ) 弦 长 公 式 : 直 线y=kx+b和 圆 锥 曲 线f(x,y)=0交 于 两 点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) 则弦长 P1P2=|1 21 2 xxk4)(1( 21 2 21 2 xxxxk 第九章 数列 1. 等差数列的性质: 等差数列任意两项间
19、的关系:如果 n a是等差数列的第n项, m a 是等差数列的第m项, 且nm, 公差为d, 则有dmnaa mn )( .对于等差数列 n a, 若qpmn, 则 qpmn aaaa。 2.等差数列的通项公式 12 等差数列 a n 的首项是 a1, 公差是 d 时, 该数列的通项公式 是 an=a1+(n 1)d. 3.等差数列 an的前 n 项的和的公式 等差数列 a n 的首项是 a1, 公差是 d 时, 该数列的前 n 项的和 的公式是 4.等比数列的通项公式 等比数列 an 的首项是 a1, 公比是 q 时, 该数列的通项公式是 an=a1q n-1 5.等比数列的性质: mn mn qaa .若vumn, 则 vumn aaaa 6.数列的求和方法: (1)等差与等比数列 (2)裂项相消法: 常用裂项公式 111 (1)1n nnn , 11 11 () ()n nkk nnk , (3)错位相减法:nnncba, 成等比数列成等差数列,nncb 第八章 不等式 1、不等式的基本性质:此类选择题多采用取特殊值法处理 2、均值不等式: 若Rba,, 则abba2 22 (当且仅当ba时取等号) 若0,ba, 则ab ba 2 (当且仅当ba时取等号)
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