高中数学模拟试题(附答案及解析).pdf
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1、高中数学模拟试题 (附答案及解析) 一、选择题(共10 小题) 1 (2020?衡阳三模)复数z=1+i ,为 z 的共轭复数,则=() A 2i Bi CiD2i 2 (2020?上海)设f(x)=, 若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围为() A1, 2B 1, 0C1, 2D0, 2 3 (2020?广西模拟)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得 BD=a, 则三棱锥DABC 的体积为 () A BCD 4 (2020?河南)如图,圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点,P是圆上的动点,角 x 的始边为射线OA , 终边 为射线 OP, 过点 P 做直
2、线 OA 的垂线,垂足为 M, 将点 M 到直线 OP 的距离表示为x 的函数 f(x) , 则 y=f (x)在 0, 的图象大致为() ABCD 5 (2020?包头一模)设函数,则 f(x)=sin(2x+)+cos(2x+) , 则() Ay=f(x)在( 0, )单调递增, 其图象关于直 线 x=对称 By=f(x)在( 0, )单调递增, 其图象关于直 线 x=对称 Cy=f(x)在( 0, )单调递减, 其图象关于直 线 x=对称 Dy=f(x)在( 0, )单调递减, 其图象关于直 线 x=对称 6 (2020?太原一模)复数的共轭复数是() A BCi Di 7 (2020?
3、广西)已知双曲线C 的离心率为2, 焦点为 F1、F2, 点 A 在 C 上,若|F1A|=2|F2A|, 则 cosAF2F1= () A BCD 8 (2020?上海二模)已知正四棱锥SABCD 中,SA=2, 那么当该棱锥的体积最大时,它的高为() A1BC2D3 9 (2020?重庆)已知函数f(x)=, 且 g(x)=f(x) mxm 在( 1, 1 内有且仅有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是() A( , 2 ( 0, B( , 2(0, C( , 2 (0, D( , 2 (0, 10 (2013?铁岭模拟)设Sn为等差数列 an的前 n 项和,若 a1=1, 公差 d=
4、2, Sk+2Sk=24, 则 k=() A8B7C6D5 二、填空题(共5 小题)(除非特别说明,请填准确值) 11 (2020?乌鲁木齐二模) 直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若 AB=AC=AA1=2, BAC=120 , 则此球的表面积等于 _ 12 (2020?湖南)如图所示,正方形 ABCD 与正方形DEFG 的边长分别为a, b(ab) , 原点 O 为 AD 的中点, 抛物线 y2=2px( p0)经过 C, F 两点, 则=_ 13 (2020?云南一模)已知圆C 过双曲线=1 的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双 曲线中心的距离是_ 14
5、 (2020?上海)设f(x)=, 若 f(2)=4, 则 a的取值范围为_ 15 (2020?上海)设f( x)=, 若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围为_ 三、解答题(共6 小题)(选答题,不自动判卷) 16 (2020?江西)如图,四棱锥 PABCD 中,ABCD 为矩形,平面 PAD平面 ABCD (1)求证: ABPD; (2)若 BPC=90 , PB=, PC=2, 问 AB 为何值时,四棱锥 PABCD 的体积最大?并求此时平面BPC 与 平面 DPC 夹角的余弦值 17 (2020?江西模拟)设数列an的前 n 项和为 Sn, 已知 a1=1, Sn+1=4
6、an+2(n N*) (1)设 bn=an+12an, 证明数列 bn是等比数列; (2)求数列 an的通项公式 18 (2020?四川)三棱锥ABCD 及其侧视图、俯视图如图所示,设 M, N 分别为线段AD , AB 的中点,P 为线段 BC 上的点,且 MN NP (1)证明: P 是线段 BC 的中点; (2)求二面角ANPM 的余弦值 19 (2020?天津)设f(x)=xae x(a R) , x R, 已知函数 y=f (x)有两个零点x1, x2, 且 x1x2 ()求 a的取值范围; ()证明:随着 a 的减小而增大; ()证明 x1+x2随着 a 的减小而增大 20 (20
7、20?陕西)设函数f(x)=lnx+, m R ()当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; ()讨论函数g(x)=f (x)零点的个数; ()若对任意ba0,1 恒成立,求 m 的取值范围 21 (2020?江苏)已知函数f0(x)=(x0) , 设 fn(x)为 fn1(x)的导数,n N * (1)求 2f1( )+f2()的值; (2)证明:对任意n N *, 等式 |nfn 1() +fn()|=都成立 参考答案与试题解析 一、选择题(共10 小题) 1 (2020?衡阳三模)复数z=1+i ,为 z 的共轭复数,则=() A 2i Bi CiD2i 考点 :复数
8、代数形式 的混合运算 专题 :计算题 分析:求出复数 z 的共 轭复数,代入 表达式,求解 即可 解答:解: =1i, 所 以= (1+i ) ( 1i) 1i 1=i 故选 B 点评:本题是基础题, 考查复数代数 形式的混合运 算,考查计算 能力,常考题 型 2 (2020?上海)设f(x)=, 若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围为() A1, 2B 1, 0C1, 2D0, 2 考点 :分段函数的应 用 专题 :函数的性质及 应用 分析:当 a0 时, 显 然 f(0)不是 f (x)的最小值, 当 a 0 时, 解 不等式: a2a 2 0, 得 1 a 2, 问题解
9、决 解答:解;当 a 0 时, 显然 f(0)不是 f ( x)的最小值, 当 a 0 时, f (0) =a 2, 由题意得: a2 x+a, 解不等式: a2 a 2 0, 得 1 a 2, 0 a 2, 故选: D 点评:本题考察了分 段函数的问题, 基本不等式的 应用,渗透了 分类讨论思想, 是一道基础题 3 (2020?广西模拟)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得 BD=a, 则三棱锥DABC 的体积为 () A BCD 考点 :棱柱、棱锥、棱 台的体积 专题 :计算题 分析:取 AC 的中点 O, 连接 DO, BO, 求出三角 形 DOB 的面 积,求出 AC
10、 的长,即可求 三棱锥 D ABC 的体积 解答:解: O 是 AC 中 点,连接 DO, BOADC , ABC 都是等 腰直角三角形 DO=B0= , BD=aBDO 也 是等腰直角三 角形DOAC , DOBO DO 平面 ABC DO 就是三棱锥D ABC 的高 SABC=a 2 三 棱锥 DABC 的体积: 故选 D 点评:本题考查棱锥 的体积,是基 础题 4 (2020?河南)如图,圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点,P是圆上的动点,角 x 的始边为射线OA , 终边 为射线 OP, 过点 P 做直线 OA 的垂线,垂足为 M, 将点 M 到直线 OP 的距离表示为x 的函数
11、 f(x) , 则 y=f (x)在 0, 的图象大致为() ABCD 考点 :抽象函数及其 应用 专题 :三角函数的图 像与性质 分析:在直角三角形 OMP 中, 求出 OM, 注意长 度、距离为正, 再根据直角三 角形的锐角三 角函数的定义 即可得到f(x) 的表达式,然 后化简,分析 周期和最值, 结合图象正确 选择 解答:解:在直角三角 形 OMP 中, OP=1, POM=x , 则 OM=|cosx|, 点 M 到直线 OP 的距离表示 为 x 的函数 f (x) =OM|sinx| =|cosx|?|sinx|=| sin2x|, 其周期为 T=, 最大值 为, 最小值为 0,
12、故选 C 点评:本题主要考查 三角函数的图 象与性质,正 确表示函数的 表达式是解题 的关键,同时 考查二倍角公 式的运用 5 (2020?包头一模)设函数,则 f(x)=sin(2x+)+cos(2x+) , 则() Ay=f(x)在( 0, )单调递增, 其图象关于直 线 x=对称 By=f(x)在( 0, )单调递增, 其图象关于直 线 x=对称 Cy=f(x)在( 0, )单调递减, 其图象关于直 线 x=对称 Dy=f(x)在( 0, )单调递减, 其图象关于直 线 x=对称 考点 :正弦函数的对 称性; 正弦函数 的单调性 专题 :计算题;压轴 题 分析:利用辅助角公 式(两角和的
13、正 弦函数) 化简函 数 f(x)=sin (2x+)+cos (2x+) , 然 后求出对称轴 方程, 判断 y=f (x) 在 (0,) 单调性,即可 得到答案 解答:解:因为f(x) =sin(2x+) +cos(2x+) =sin (2x+) =cos2x 它的对称轴方 程可以是: x=;所以 A, C错误;函数 y=f (x) 在 (0,) 单调递减,所 以 B 错误;D 正 确 故选 D 点评:本题是基础题, 考查三角函数 的化简,三角 函数的性质: 对 称性、单调性, 考查计算能力, 常考题型 6 (2020?太原一模)复数的共轭复数是() A BCi Di 考点 :复数代数形式
14、 的混合运算 专题 :计算题 分析:复数的分子、 分 母同乘分母的 共轭复数,复 数化简为a+bi (a, b R)的 形式,然后求 出共轭复数, 即可 解答:解:复数 = =i, 它的共 轭复数为: i 故选 C 点评:本题是基础题, 考查复数代数 形式的混合运 算,共轭复数 的概念,常考 题型 7 (2020?广西)已知双曲线C 的离心率为2, 焦点为 F1、F2, 点 A 在 C 上,若|F1A|=2|F2A|, 则 cosAF2F1= () A BCD 考点 :双曲线的简单 性质 专题 :圆锥曲线的定 义、性质与方 程 分析:根据双曲线的 定义,以及余 弦定理建立方 程关系即可得 到结
15、论 解答:解: 双曲线 C 的离心率为2, e=, 即 c=2a, 点 A 在双曲线 上, 则|F1A| |F2A|=2a, 又|F1A|=2|F2A|, 解得 |F1A|=4a, |F2A|=2a, |F1F2|=2c, 则由余弦定理 得 cosAF2F1= = = , 故选: A 点评:本题主要考查 双曲线的定义 和运算,利用 离心率的定义 和余弦定理是 解决本题的关 键,考查学生 的计算能力 8 (2020?上海二模)已知正四棱锥SABCD 中,SA=2, 那么当该棱锥的体积最大时,它的高为() A1BC2D3 考点 :棱柱、棱锥、棱 台的体积 专题 :计算题;压轴 题 分析:设出底面边
16、长, 求出正四棱锥 的高,写出体 积表达式,利 用求导求得最 大值时,高的 值 解答:解:设底面边长 为 a, 则高 h= =, 所以体积 V=a 2h= , 设 y=12a 4 a 6,则 y =48a3 3a5, 当 y 取 最值时, y =48a3 3a 5=0, 解得 a=0 或 a=4 时, 体积最大, 此时 h=2 , 故选 C 点评:本试题主要考 查椎体的体积, 考查高次函数 的最值问题的 求法是中档 题 9 (2020?重庆)已知函数f(x)=, 且 g(x)=f(x) mxm 在( 1, 1 内有且仅有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是() A( , 2 ( 0, B(
17、 , 2(0, C( , 2 (0, D( , 2 (0, 考点 :分段函数的应 用 专题 :函数的性质及 应用 分析:由 g(x)=f(x) mxm=0, 即 f(x)=m (x+1) , 作出 两个函数的图 象,利用数形 结合即可得到 结论 解答:解:由 g( x)=f (x) mx m=0, 即 f(x) =m(x+1) , 分别作出函数f (x)和 y=g(x) =m(x+1)的图 象如图: 由图象可知f (1)=1, g (x) 表示过定点A ( 1, 0)的 直线, 当 g(x)过(1, 1) 时, m此 时两个函数有 两个交点,此 时满足条件的 m 的取值范围 是 0m , 当
18、g(x)过(0, 2)时, g (0) =2, 解得 m= 2, 此时两个 函数有两个交 点, 当 g (x) 与 f (x) 相切时,两个 函数只有一个 交点, 此时 , 即 m( x+1)2+3 (x+1) 1=0, 当 m=0 时, x=,只有 1 解, 当 m 0, 由 =9+4m=0 得 m=, 此时 直线和 f(x)相 切, 要使函数有 两个零点, 则 m 2 或 0m , 故选: A 点评:本题主要考查 函数零点的应 用,利用数形 结合是解决此 类问题的基本 方法 10 (2013?铁岭模拟)设Sn为等差数列 an的前 n 项和,若 a1=1, 公差 d=2, Sk+2Sk=24
19、, 则 k=() A8B7C6D5 考点 :等差数列的前n 项和 专题 :计算题 分析:先由等差数列 前 n项和公式求 得 Sk+2,Sk,将 Sk+2Sk=24 转 化为关于 k 的方 程求解 解答:解:根据题意: Sk+2=(k+2) 2, Sk=k 2 Sk+2 Sk=24 转化为: (k+2) 2 k2=24 k=5 故选 D 点评:本题主要考查 等差数列的前n 项和公式及其 应用,同时还 考查了方程思 想, 属中档题 二、填空题(共5 小题)(除非特别说明,请填准确值) 11 (2020?乌鲁木齐二模) 直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若 AB=AC=AA1=2,
20、 BAC=120 , 则此球的表面积等于 20 考点 :球内接多面体 专题 :计算题;压轴 题 分析:通过已知体积 求出底面外接 圆的半径,设 此圆圆心为O, 球心为 O, 在 RTOBO中, 求出球的半径, 然后求出球的 表面积 解答:解: 在ABC 中 AB=AC=2 , BAC=120 , 可得, 由正弦定理, 可得 ABC 外 接圆半径r=2, 设此圆圆心为 O, 球心为 O, 在 RTOBO 中, 易得球半径 , 故此球的表面 积为 4 R2=20 故答案为: 20 点评:本题是基础题, 解题思路是: 先 求底面外接圆 的半径,转化 为直角三角形, 求出球的半径, 这是三棱柱外 接球
21、的常用方 法;本题考查空 间想象能力, 计算能力 12 (2020?湖南)如图所示,正方形 ABCD 与正方形DEFG 的边长分别为a, b(ab) , 原点 O 为 AD 的中点, 抛物线 y2=2px( p0)经过 C, F 两点, 则= 考点 :直线与圆锥曲 线的关系 专题 :计算题 分析:可先由图中的 点与抛物线的 位置关系,写 出 C, F 两点的 坐标,再将坐 标代入抛物线 方程中,消去 参数 p 后,得 到 a, b 的关系 式, 再寻求的 值 解答:解:由题意可得 , , 将 C, F 两点的 坐标分别代入 抛物线方程 y2=2px 中,得 a0, b0, p0, 两式相 比消
22、去 p 得 , 化 简整理得 a 2+2ab b2=0, 此式可看作是 关于 a 的一元二 次方程,由求 根公式得 , 取 , 从而 , 故答案为: 点评:本题关键是弄 清两个正方形 与抛物线的位 置关系,这样 才能顺利写出 C, F 的坐标, 接下来是消参, 得到了一个关 于 a, b 的齐次 式,应注意根 的取舍与细心 的计算 13 (2020?云南一模)已知圆C 过双曲线=1 的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双 曲线中心的距离是 考点 :双曲线的简单 性质 专题 :计算题 分析:由双曲线的几 何性质易知圆C 过双曲线同一 支上的顶点和 焦点, 所以圆 C 的圆心的横坐
23、标为 4故圆心 坐标为( 4, ) 由此可 求出它到双曲 线中心的距离 解答:解:由双曲线的 几何性质易知 圆 C 过双曲线 同一支上的顶 点和焦点, 所以圆 C 的圆 心的横坐标为 4 故圆心坐标为 (4, ) 它到中心 (0, 0)的距离为 d= 故答案为: 点评:本题考查双曲 线的性质和应 用,解题时注 意圆的性质的 应用 14 (2020?上海)设f(x)=, 若 f(2)=4, 则 a的取值范围为( , 2 考点 :分段函数的应 用;真题集萃 专题 :分类讨论; 函数 的性质及应用 分析:可对 a 进行讨 论, 当 a 2时, 当 a=2 时, 当 a 2 时, 将 a 代 入相对应
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