高中数学知识点(表格格式).pdf
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1、第 1 页 共 12 页 高考数学回归知识必备 *1 集合与常用逻辑用语 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 集 合 概念一组对象的全体. ,xA xA。 元素特点 :互异性、无序性、确定性。 关系 子集xAxBAB。A; ,AB BCAC n个元素集合子集数2 n 。 真子集 00 ,xAxBxB xAAB 相等,AB BAAB 运算 交集|,xxBxBAAI且()()()UUUCABC AC BUI ()()() UUU CABC AC BIU () UU CC AA 并集|,xxBxBAAU或 补集| U x xUC AxA且 常 用 逻 辑 用 语 命题 概念能够判断真假的语句。 四种
2、 命题 原命题:若 p, 则q 原命题与逆命题,否命题与逆否命题互 逆;原命题与否命题、逆命题与逆否命 题互否;原命题与逆否命题、否命题与 逆命题互为逆否。互为逆否的命题 等价。 逆命题:若q, 则p 否命题:若p, 则q 逆否命题:若q, 则p 充要 条件 充分条件pq,p是q的充分条件若命题p对应集合A, 命题q对应集合 B, 则pq等价于AB,pq 等价于AB。 必要条件pq,q是p的必要条件 充要条件pq,,p q互为充要条件 逻辑 连接词 或命题 pq,,p q有一为真即为真,,p q均为假时才为 假。 类比集合的并 且命题 pq,,p q均为真时才为真,,p q有一为假即为 假。
3、类比集合的交 非命题p和p为一真一假两个互为对立的命题。 类比集合的补 量词 全称量词, 含全称量词的命题叫全称命题,其否定为特称命题。 存在量词, 含存在量词的命题叫特称命题,其否定为全称命题。 2.平面向量 平 面 向 量 重 要 概 念 向量既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。 0 r 向量长度为0, 方向任意的向量。【0 r 与任一非零向量共线】 平行向量方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量,也叫共线向量。 向量夹角起点放在一点的两向量所成的角,范围是0,。,a b r r 的夹角记为,a b r r 。 投影,a b r r ,cosb r 叫做b r
4、 在a r 方向上的投影。【注意:投影是数量】 重 要 法 则 定 理 基本定理 12,e e rr 不共线, 存在唯一的实数对( ,),使12aee rrr 。若12,e e rr 为, x y 轴上的单位正交向量,( ,)就是向量a r 的坐标。 一般表示坐标表示(向量坐标上下文理解) 共线条件 ,a b r r (0b rr 共线存在唯一实数, ab rr11221221 (,)(,)x yxyx yx y 垂直条件 0aba b rrr r g。 1122 0x yx y。 各 种 运 算 加法 运算 法则 ab rr 的平行四边形法则、三角形法则。 1212 (,)abxxyy rr
5、 。 算律abba rrrr ,()()abcabc rrrrrr 与加法运算有同样的坐标表示。 减法法则 ab rr 的三角形法则。 1212 (,)abxxyy rr 第 2 页 共 12 页 运算 分解 MNONOM u uu u ruu u ruu uu r 。(,) NMNM MNxxyy uu uu r 。 数乘 运算 概念 a r 为向量, 0与a r 方向相同, 0与a r 方向相反,aa rr 。 (,)axy r 。 算律 aa)()(,aaa)(, baba)( 与数乘运算有同样的坐标表示。 数量 积运 算 概念 cos,a baba b r rrrr r g 1212
6、a bx xy y r r g。 主要 性质 2 a aa r rr g,a bab r rrr g。 22 axy r , 2222 12121122 x xy yxyxy 算律 a bb a r rr r gg,()ab ca cb c rrrrr r ggg, ()()()a baba b rrrrr r ggg。 与上面的数量积、数乘等具有同样 的坐标表示方法。 *3.不等式、线性规划 不等式的 性质 (1)a bbcac, ;两个实数的顺序关系: 0abab 0abab 0abab (2)00abcacbcabcacbc,;,; (3)abacbc; (4)a bcdacbd, ;
7、11 ab ab 的 充 要 条 件 是0ab。 (5)00abcdacbd,; (6) * 01 nn nn abnnababN,; 一元二次 不等式 解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根(如果有实数根), 再结合 对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间,在含有字母参数的不等式中还要根据参 数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向,从而确定不等式的解集 基本 不等式 2 ab ab (0,0ab) 2abab(,0a b) ; 2 () 2 ab ab(,a bR) ; ba ab2 ab 2 ba 2 22 ba (,0a b) ; 22 2abab。
8、二元一次 不等式组 二元一次不等式0AxByC的解集是平面直角坐标系中表示0AxByC某一侧所 有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域 的公共部分。 简单的 线性规划 基本 概念 约束条件 对变量, x y的制约条件。如果是, x y的一次式,则称线性约束条件 目标函数 求解的最优问题的表达式。如果是 , x y的一次式, 则称线性目标函 数。 可行解满足线性约束条件的解( ,)x y叫可行解。 可行域 所有可行解组成的集合叫可行域。 最优解使目标函数取得最大值或者最小值的可行解叫最优解。 线性规划在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或者最大值的问题。
9、问题 解法 不含 实际背景 第一步画出可行域。 注意区域 边界的虚实。 第二步根据目标函数几何意义确定最优解。 第三步求出目标函数的最值。 含 实际背景 第一步设置两个变量,建立约束条件和目标函数。注意实际问题对 变量的限制。 第二步同不含实际背景的解法步骤。 第 3 页 共 12 页 *4.函数基本初等函数I 的图像与性质 函数 概念 及其 表示 概念 本质:定义域内任何一个自变量对应唯一的函数值。两函数相等只要定义域和对 应法则相同即可。 表示方法 解析式法、表格法、图象法。分段函数是一个函数,其定义域是各段定义域的 并集、值域是各段值域的并集。 性质 单调性 对定义域内一个区间 I ,
10、1212 ,x xI xx, ( )f x是增函数12()()f xf x, ( )f x是减函数12 ()()f xf x。 偶函数在定义域关 于坐标原点对称的 区间上具有相反的 单调性、奇函数在定 义域关于坐标原点 对称的区间上具有 相同的单调性。 奇偶性 对 定 义 域 内 任 意x,( )f x是 偶 函 数 ( )()f xfx,( )f x是奇函数 ()( )fxf x。偶函数图象关于y轴对 称、奇函数图象关于坐标原点对称。 周期性对定义域内任意x, 存在非零常数T,()( )f xTf x 基本 初等 函数 指数函数 x ya 01a (,)单调递减,0x时1y,0x时01y 函
11、数图象过 定点(0,1) 1a(,)单调递增,0x时01y,0x时1y 对数函数 logayx 01a 在(0,)单调递减,01x时0y,1x时0y 函 数 图 象 过 定点(1,0) 1a 在(0,)单调递增,01x时0y,1x时0y 幂函数 yx 0 在在(0,)单调递增,图象过坐标原点函 数 图 象 过 定点(1,1) 0 在在(0,)单调递减 *5. 函数与方程函数模型及其应用 函数 零点 概念 方程( )0f x的实数根。方程( )0f x有实数根函数( )yf x的图象与x 轴有交点函数( )yfx有零点 存在定理图象在 , a b上连续不断,若( )( )0f a f b, 则(
12、 )yf x在( , )a b内存在零点。 函数 建模 概念把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。 解题步骤 阅读审题分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题。 数学建模弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式。 解答模型利用数学方法得出函数模型的数学结果。 解释模型将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。 *6. 三角函数的图像与性质 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 基 本 问 题 定义任意角的终边与单位圆交于点( ,)P x y时,sin,cos,tan y yx x 同角三角 函数关系 22sin sincos1,tan cos 。 诱导公
13、式360,180,90,270,“ 奇变偶不变,符号看象限 ” 三 角 函 数 的 性 质 与 图 值域周期单调区间奇偶性对称中心对称轴 sinyx (xR) 1,1 2k 增2,2 22 kk 减 3 2,2 22 kk 奇函数(,0)k 2 x k cosyx (xR)1,12k 增2,2kk 减2,2kk 偶函数 (,0) 2 kxk 第 4 页 共 12 页 象tanyx ( 2 xk) Rk 增, 22 kk奇函数,0 2 k 无 图 象 变 换 平移变换 上下平移 ( )yfx图象平移k得( )yf xk图象,0k向上,0k向 下。 左右平移 ( )yfx图象平移得()yf x图象
14、,0向左,0向 右。 伸缩变换 x轴方向( )yfx图象各点把横坐标变为原来倍得 1 ()yfx的图象。 y轴方向( )yfx图象各点纵坐标变为原来的A倍得( )yAfx的图象。 对称变换 中心对称( )yfx图象关于点( , )a b对称图象的解析式是2(2)ybfax 轴对称 ( )yfx图象关于直线xa对称图象的解析式是(2)yfax。 *7. 三角恒等变换与解三角形 变换 公式 正弦 和差角公式倍角公式 2 2tan sin2 1tan 2 2 1tan cos2 1tan 21cos2 sin 2 2 1cos2 cos 2 sin() sincoscossin sin22sinco
15、s 余弦 cos() coscossinsinm 22 22 cos2cossin 2cos112sin 正切 tantan tan() 1tantanm2 2 tan tan2 1tan 三 角 恒 等 变 换 与 解 三 角 形 正弦 定理 定理 sinsinsin abc ABC 。 射影定理: coscosabCcB coscosbaCcA coscoscaBbA 变形 2sin,2sin,2sinaRA bRB cRC(R外 接 圆 半 径) 。 类型三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。 余弦 定理 定理 222222222 2cos ,2cos,2cosabcbcA bacac
16、B cababC。 变形 22222 () cos1 22 bcabca A bcbc 等。 类型两边及一角(一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程)、三边。 面积 公式 基本 公式 111111 sinsinsin 222222 abc Sa hb hc habCbcAacB。 导出 公式 4 abc S R (R外接圆半径) ; 1 () 2 Sabc r(r内切圆半径) 。 实际 应用 基本思想 把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中,往往涉及到多个三角形, 只要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。 常用术语 仰 角 视线在水平线以上时,在视线所在的垂直平面内,视线
17、与水平线所成的角。 俯 角 视线在水平线以下时,在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成的角。 方 向 角 方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始 方向旋转到目标的方向线所成的角(一般是锐角,如北偏西30 ) 。 方位角:某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹 第 5 页 共 12 页 角。 *8. 等差数列等比数列 数 列 、 等 差 数 列 等 比 数 列 一般 数列 n a 概念 按照一定的次序排列的一列数。分有穷、无穷、增值、递减、摆动、常数数 列等。 通项公式数列 n a中的项用一个公式表示,( ) n af n 1 1 ,1, ,2. n n
18、n S n a SSn 前n项和 12nn SaaaL 简单 的递 推数 列解 法 累加法 1 ( ) nn aaf n型 解决递推数列问题的 基本思想是“ 转化 ” , 即转化为两类基本数 列-等差数列、等比 数列求解。 累乘法 1 ( ) nn aa f n型 转化法 11 11 (0,1,0) nnn nnnn aa apaq ppqq pp 待定 系数法 11 (0,1,0)() nnnn acad cdac a。 比较系数得出, 转化为等比数列。 等差 数列 n a 概念满足 1nn aad(常数),0d递增、0d递减、0d常数数列。 通项 公式 1 (1)() nm aandanm
19、 d mnpq aaaamnpq。 22 mnp aaamnp。 前n项 和公式 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad 232 , mmmmm SSSSSL为等差数列。 等比 数列 n a 概念满足 1 : nn aaq(0q的常数), 单调性由 1 a的正负,q的范围确定。 通项 公式 1 1 nn m nm aa qa q mnpq a aa amnpq, 2 2 mnp a aamnp 前n项 和公式 11 1 (1) ,1, 11 ,1. n n n aa qaq q Sqq na q 公比不等于1时, 232 , mmmmm SSSSSL成等比数列。 *9. 数
20、列求和及其数列的简单应用 数 列 求 和 及 数 列 的 简 单 应 用 常 用 求 和 公 式 等差数列 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad, 特别 (1) 123 2 n n nL。 等比数列 11 1 (1) ,1, 11 ,1. n n n aa qaq q Sqq na q , 特别 21 1 22221 nn L。 自然数 平方和 2222(21)(1)(21) 123(12) 36 nn nn nnLL。 自然数 立方和 2 3332 (1) 12(1 2) 2 n n nnLL。 常 用 求 和 方 法 公式法如22 ,3 n nn an a。 常用裂项
21、方法: 11 11 () ()n nkk nnk ; 2 1111 1211nnn ; 分组法 如22 n n an, ( 1)2 n n an。 裂项法 如 111 (1)1 n a n nnn 。 第 6 页 共 12 页 错位 相减法 如(21) 2 n n an。 2 1111 4122121nnn ; 1 111 (1) 2(1)22 nnn n n nnn 。 倒序 相加法 如 01kn nnnn CCkCCLL。 数 列 模 型 等差数列基本特征是均匀增加或者减少。 等比数列基本特征是指数增长,常见的是增产率问题、存款复利问题。 一个简单 递推数列 基本特征是指数增长的同时又均匀
22、减少。如年收入增长率为20%, 每年年底 要拿出a(常数)作为下年度的开销,即数列 n a满足 1 1.2 nn aaa。 注:表中,n k均为正整数 *10.空间几何体(其中r为半径、h为高、l为母线等) 空 间 几 何 体 三 视 图 正视图光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图。 正视图与侧视图高平齐; 侧视图与俯视图宽相等; 俯视图与正视图长对正。 侧视图光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图。 俯视图光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 直 观 图 画法使用斜二测画法画出空间几何体的底、再画出空间几何体的其它部分。 面积 关系 水平放置的平面图形的面积为S, 使用斜二
23、测画法画出的直观图的面积为S, 则 22SS。 表 面 积 和 体 积 表面积体积 棱柱2SSS 侧全底 表 面 积 即 空 间 几 何 体 暴 露 在 外 的 所 有 面 的 面 积 之和。 VShg 底高 1 3 VS hg 锥 SS 1 () 3 VSS SS h 台 0S VS hg 柱 棱锥SSS 侧全底 1 3 VShg 底高 棱台SSSS 侧全上底下底 1 () 3 VSS SS h 圆柱 2 22Srrh 全 2 Vr h 圆锥 2 Srrl 全 21 3 Vr h 圆台 22 ( )Srrr lrl 全 221 ( ) 3 Vrr rrh 球 2 4SR 球 34 3 VR
24、球 *11.空间点、直线、平面位置关系(大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母 表平面) : 空 间 点 、 直 线 、 平 面 的 位 置 关 系 基 本 公 理 公理 1 ,Al Bl ABl。 用途 判断直线在平面内。 公理 2 ,A B C 不共线,A B C 确定平面。 确定平面。 确定两平面的交线。 公理 3 ,PPlPlI 两直线平行。 公理 4 ac,bcab 位 置 关 系 线线 共面和异面。共面为相交和平行。不同在任何一个平面内的两条直线称为异 面直线。 点线面,Al Bl;,AB。 线面,.llA lPI。分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。 面面,lI。分别
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