高中数学第1章算法初步1.4算法案例教学案苏教版必修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.4算法案例 1符号 Int(x)和 Mod(a,b)的含义是什么? 2 “孙子问题”相当于怎样的数学问题? 1 欧几里得辗转相除法是解决什么问题的数学方法,它的一般步骤是什么? 新知初探 1 “孙子问题”相当于求关于x,y,z的不定方程组 m3x2, m5y3, m7z2 的正整数解 2欧几里得辗转相除法 (1)含义:求两个正数a,b(ab)的最大公约数的方法,称为欧几里得辗转相除法 (2)步骤:计算出ab的余数r,若r 0,则b即为a,b的最大公约数;若r0,则把 前面的除数b作为新的被除数,把余数r作为新的除数,继续运算,直到余数为0,此时的
2、 除数即为a,b的最大公约数 3两个常用函数 (1)Mod(a,b)表示a除以b所得的余数 (2)Int(x)表示不超过x的最大整数 点睛 辗转相除法的理论根据是:由anbr?ranb,得a,b与b,r有相同的公约数 小试身手 1Int(5)_; Int 2 3 _; Int(3.14)_. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案: 5 0 4 2用辗转相除法求32和 14 的最大公约数时,需要做_次除法运算 答案: 3 3用符号表示m被 7 除后余 2 为_ 答案: Mod(m,7)2 典例 有 3 个连续的正整数,其中最小的能被15 整除,中间的能被17 整除,最大的 能被 19
3、整除,画出求满足要求的一组三个连续正整数的流程图,并写出伪代码 解 设这三个数分别为m,m1,m 2,则m满足的条件是Mod(m,15)0 且 Mod(m 1,17)0 且 Mod(m 2,19)0. 流程图: 伪代码: m2 While Mod(m,15) 0or Mod(m 1,17)0 or Mod(m 2,19)0 mm1 End While Print m,m1,m2 孙子剩余定理的应用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解决此类问题的方法就是从m2 开始,对每一个正整数逐一检验,当m满足所有已知条 件时,结束循环,输出m. 活学活用 下面一段伪代码的功能是_ m2 Whil
4、e Mod(m,2)1 or Mod(m,3)2 or Mod(m,5)3 mm1 End While Print m 解析:由代码含义可知,m满足的条件是除以2 余 1,除以 3 余 2,除以 5 余 3,又m 逐个增大,故输出的m是满足条件的最小正整数 答案:求关于x,y,z的不定方程组 m2x1, m3y2, m5z3 的最小正整数解 典例 用辗转相除法求396 和 270 的最大公约数,并设计算法,画出流程图,写出伪 代码 解 396270126,270212618,126187, 因此 396和 270的最大公约数为18. 算法如下: S1 a396 S2 b 270 S3 如果 M
5、od(a,b) 0,那么转S4,否则转S7 S4 rMod(a,b) S5 abbr S6 转 S3 S7 输出b 欧几里得辗转相除法的应用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 伪代码:流程图: (1)求三个正整数a,b,c的最大公约数的步骤是: 先求其中两个数的最大公约数,如求a,b的最大公约数,用m表示;再求m与第 三个数c的最大公约数,用n表示;n就是三个数a,b,c的最大公约数 (2)整数a和b的最小公倍数为 ab a,b的最大公约数 ,即 (a,b的最大公约数)(a,b的最 小公倍数 )ab. 活学活用 求 396和 270的最小公倍数 解:根据最大公约数和最小公倍数的关系可知
6、这两个数的最小公倍数为396270 18 5 940. 典例 在平面直角坐标系中作出函数y 2x和y4x的图象,根据图象判断方程2 x 4x的解的范围,再用二分法求这个方程的近似解(误差不超过0.001),写出这个算法的 伪代码,并画出流程图 解 在同一坐标系内作出函数y2x和y4x图象如图:由图象 可知方程2x4x有一根在 1,2内 伪代码为: 利用二分法求方程的近似解 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 a1 b2 c0.001 While |ab| c x0ab/2 fa2aa4 fx02x0x04 If fx0 0 Then Exit While End If If fafx00
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