高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2间接证明自主练习苏教版选修1_68.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.2.2 间接证明 自主广场 我夯基我达标 1.实数 a、b、c 不全为 0的条件为() A.a、b、c均不为 0 B.a、b、c 中至多有一个为0 C.a、b、 c 中至少有一个为0 D.a、b、c 中至少有一个不为0 思路解析 :实数 a、b、c 不全为 0 的条件是a、b、c 至少有一个不为0. 答案 :D 2.x、yR,且 x2+y 2=1,则( 1-xy) (1+xy)有( ) A.最小值 4 3 ,无最大值 . B.最小值 1,无最大值 . C.最小值 2 1 ,最大值1 D.最大值 1,最小值 4 3 思路解析 :设 x=cos ,y
2、=sin , 则(1-xy)(1+xy)=(1-sin cos )(1+sin cos ) =1-sin 2 cos2 =1- 4 1 sin22 . sin22 0,1,(1-xy)(1+xy) 4 3 , 1. 答案 :D 3.设 a、b、c 都是正数,则三个数a+ b 1 ,b+ c 1 , c+ a 1 () A.都大于 2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2 思路解析 :a+ b 1 + c 1 +c+b+ a 1 =a+ a 1 +b+ b 1 +c+ c 1 2+2+2=6. 所以 a、b、c 中至少有一个大于2. 答案 :B 4.已知 a、b、
3、c 都是正数, S= bdc d adc c dba b cba a ,则有() A.0S1 B.1S2 C.2S3 D.3S4 思 路 解 析 :S dcba d dcba c dcba b dcba a =1, 且S dc d dc c ba b ba a =2. 1S2. 答案 :B 5.求证:一个三角形中,至少有一个内角不小于60 . 证明: 假设 ABC 的三个内角A, B,C 都小于 60,即 A60, B60 ,C60. 相加得 A+ B+C180. 这与三角形内角和定理矛盾,所以 A,B,C 都小于 60的假设不能成立,从而一个三角形 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理
4、中,至少有一个内角不小于60 . 6.求证:当x 2+bx+c2=0 有两个不相等的非零实数根时, bc0. 证明: 假设 bc=0,则有三种情况出现: (1)若 b=0,c=0 方程变为x2=0,x1=x2=0 是方程 x2+bx+c 2=0 的根,这与已知方程有两个不相 等的实根相矛盾. (2)若 b=0,c0,方程变为x2+c 2=0,但当 c0 时, x2+c2=0;但 c0 时, x2+c20 与 x2+c2=0 矛盾 , (3)若 b0,c=0,方程变为x 2+bx=0, 方程的根为 x1=0,x2=-b.这与已知条件方程有两个非零实 根相矛盾 . 综上所述, bc0. 7.证明:
5、 1,3,2 不能为同一等差数列的三项. 证明: 假设1,3,2 是某一等差数列的三项,设这一等差数列的公差为d,则 1=3-md, 2=3+nd,其中 m、n 为某两个正整数, 由上面两式消去d,得 n+2m=(m+n)3,因为 n+2m 为有理数, 而(m+n)3为无理数, 所以 2m+n3(m+n),因此, 假设不成立, 即 1,3, 2 不能为同一等差数列的三项. 8.平面上有四个点,设有三点共线. 证明:以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形. 证明: 假设以每三个点为顶点的四个三角形都是锐角三角形,记这四个点为A、B、C、 D. 考虑点 D 在 ABC 之内或之外有两种情况:
6、(1)如果点D 在 ABC 之内,(如图( 1) ) ,根据假设围绕点D 的三个角都是锐角,其和 小于 270,这与一个周角等于360矛盾 . (2)如果点 D 在 ABC 之外(如图( 2) ) ,根据 A、 B、 C、 D 都大于 90, 这和 四边形 ABCD 的内角和为360相矛盾 .综上所述,假设不成立,从而题目中的结论成立. 9.已知 a0,证明关于x 的方程 ax=b 有且只有一个根. 证明: 由于 a0,因此方程至少有一个根x= a b , 如果方程不是一个根,不妨设x1、 x2是它的两个不同根,即ax1=b, ax2=b, -得 a(x1-x2)=0. 因为 x1x2,所以
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