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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 23.1 平均数及其估计 1什么叫一组数据的平均数? 2.平均数有哪些计算方法? 新知初探 1平均数的概念 一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是这组数据的平均数(或均值 ),一般记为: a a1a2an n . 点睛 (1)平均数反映了一组数据的集中趋势,它是一组数据的“重心”,是度量一组数据波动 大小的基准 (2)用样本平均数可估计总体平均数 (3)用平均数可以比较两组数据的总体情况,如成绩、产量等 2平均数的计算 (1)定义法:已知x1,x2,x3,xn为某样本的n个数据,则这n个数据的平均数为x x1x2x3xn n . (2)利用平均数性
2、质:如果x1,x2,xn的平均数为x,那么mx1a,mx2a, mxna的平均数是m xa. (3)加减常数法:数据x1,x2,xn都比较大或比较小,且x1,x2,xn在固定常数 a附近波动,将原数据变化为x1a,x2a,xna,新数据的平均数为x,则所求原 数据的平均数为xa. (4)加权平均数法:样本中,数据x1有m1个,x2有m2个,xk有mk个,则x m1x1m2x2mkxk m1m2mk . (5)频率法:一般地,若取值为x1,x2,xn的频率分别为p1,p2,pn,则其平均 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 数xp1x1p2x2pnxn. (6)组中值法:若样本为n组连续型
3、数据,则样本的平均数组中值与对应频率之积的 和 小试身手 1(江苏高考 )已知一组数据4,6,5,8,7,6 ,那么这组数据的平均数为_ 解析:x 465 876 6 6. 答案: 6 2若数据x1,x2,x3,xn的平均数为2,则数据2x11,2x21,2x31, 2xn1 的平均数为 _ 答案: 3 3数据 2,2, 4, 4, 4,3,3,3,3的平均数为 _ 答案: 4 9 典例 (1)某班 45 名同学的年龄 (单位:岁 )如下: 14 15 14 16 15 17 16 15 16 16 15 15 17 13 14 15 16 16 15 14 15 15 14 15 16 17
4、 16 15 15 15 16 15 13 16 15 15 17 14 15 16 16 15 14 15 15, 求全班的平均年龄 (2)从高三年级中抽出50 名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图所示的频率分布直方图 试利用频率分布直方图估计高三年级学生的平均成绩 解 (1)法一:利用平均数的公式计算 平均数的计算 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 x 1 45(1415 15) 1 4568415.2(岁) 法二:利用平均数的简化公式计算 取a 15,将已知各数减去15,得 1 0 1 1 0 2 1 0 1 1 0 0 2 2 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 2 1
5、0 0 0 1 0 2 1 0 0 2 1 0 1 1 0 1 0 0 x 1 45(10 0) 1 459 0.2(岁) xxa0.21515.2(岁) 法三:利用加权平均数公式计算 x 1 45(132 147 1520161217 4) 1 4568415.2(岁) 即全班的平均年龄是15.2岁 (2)样本平均数是频率分布直方图的“重心”,即所有数据的平均数,取每个小矩形底边 的中点值乘以每个小矩形的面积再求和即可 故平均成绩为 45(0.004 10) 55(0.006 10)65 (0.0210) 75(0.0310)85(0.02410) 95 (0.01610)76.2. (1)
6、给定一组数据,要求其平均数可直接套用公式若这组数据都在某一数据附近波动, 可用平均数的简化公式计算,若这组数据某些数多次出现,可用加权平均数公式计算 (2)在频率分布表中,平均数可用各组区间的组中值与对应频率之积进行估计 (3)若一组数据的个数未知,但每一数据所占比例已知,可用频率平均数公式 活学活用 1 某医院的急诊中心的记录表明以往到这个中心就诊的病人需等待的时间的分布 如下: 等待时间 /min 0,5)5,10)10,15)15,20)20,25 频率0.200.400.250.100.05 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则到这个中心就诊的病人平均需要等待的时间估计为_ 解
7、析:x2.50.2 7.50.412.5 0.25 17.5 0.122.50.059.5. 答案: 9.5 2某班进行一次考核,满分5 分, 3 分(包括 3 分)以上为合格,得1 分, 2 分, 3 分, 4 分, 5分的人数占该班人数的比例分别为5%,10%,35%,40%和 10%,试求该班的平均得分 解:由于本题没有给出该班同学的人数,故无法用定义法求解而题中给出了相应分数 及所占比例,故可用频率平均数公式计算 x10.052 0.10 30.3540.405 0.10 3.4,故该班的平均分数为3.4分. 典例 若x1,x2,xn的平均数为x,数据y1,y2,yn的平均数为y,求下
8、列 几组数据的平均数 (1)2x1,2x2, 2xn; (2)kx1a,kx2a,kxna; (3)x1y1,x2y2,xnyn. 解 据题意x 1 n(x 1x2x3xn), y 1 n(y 1y2yn), 设第一组数据平均数为z,第二组数据平均数为甲 ,第三组数据平均数为乙 . (1)z 1 n(2x 12x2 2xn) 2 1 n(x 1x2xn)2x, (2) 甲 1 n(kx 1a)(kx2a) (kxna) 1 nk(x 1x2xn)na k 1 n(x 1x2xn)ak xa. (3) 乙 1 n(x 1y1)(x2y2) (xnyn) 1 n(x 1x2xn) (y1y2yn)
9、 1 n(x 1x2xn) 1 n(y 1y2yn) 平均数的性质 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 xy. 若x1,x2,xn的平均数为x,y1,y2,yn的平均数为y,则ax1,ax2,axn 的平均数为a x,kx1a,kx2a,kxna的平均数为k xa;x1y1,x2y2,xn yn的平均数为xy,以上反映了平均数的性质,利用这些性质,可方便进行一些计算 活学活用 已知数据x1,x2,xn的平均数为 1 2 ,数据y1,y2,y3,yn的平均数为2,则数据 2x13,2x23, 2xn3 的平均数为 _,数据ax1by1,ax2by2,axnbyn的 平均数为 _ 答案: 4
10、 1 2a 2b 层级一学业水平达标 1已知 1,2,3,4 ,a,b,c的平均数是8,则abc_. 解析:据题意 1 7 (1234abc)8, abc46. 答案: 46 2已知2,4,2x,4y四个数的平均数是5,而 5,7,4x,6y四个数的平均数是9,则xy的值是 _ 解析:据题意 1 4 24 2x4y5, 1 4 57 4x6y9, 解之得 x3, y2. xy6. 答案: 6 3在一次知识竞赛中,抽取40 名选手,成绩分布如下: 成绩678910 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 人员分布2571115 则选手的平均成绩是_ 解析:x 1 40(627587911101
11、5)8.8. 答案: 8.8 1 一位同学种了甲、乙两种树苗各1 株,分别观察了9 次、 10次后,得到树苗高度的 数据的茎叶图如图(单位:厘米 ) 则甲种树苗高度平均为_;乙种树苗的 高度平均为 _;甲、乙 两 种 树 苗 高 度 平 均 为 _ 解析:根据茎叶图可得,观察甲树苗9 次得到 的 树 苗 高 度 分 别 为 :14,20,21,23,24,30,32,33,37 ; 观察乙树苗10 次得到的树苗高度分别为:10,11,14,24,26,30,44,46,46,47,易得甲树苗高度平均 为 234 9 26,乙树苗高度平均为 298 10 29.8,甲、乙两种树苗高度平均为 1
12、19(234298)28. 答案: 26 29.8 28 550 名同学参加数学竞赛,成绩的分组及各组的频数如下:(单位:分 ) 40,50),2;50,60),3;60,70), 10;70,80),15;80,90),12; 90,100,8. 列出样本的频率分布表并求这50 名同学的平均分 解:频率分布表如下: 成绩分组频数频率 40,50)20.04 50,60)30.06 60,70)100.2 70,80)150.3 80,90)120.24 90,10080.16 合计501.00 法一:总成绩约为 452 55365 10751585129583 810(分 ), 故 50 名
13、同学的数学平均分约为3 8105076.2(分) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 法二:求组中值与对应频率之积的和 450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2(分) 层级二应试能力达标 1某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为 15,那么 由此求出的平均数与实际平均数的差是_ 答案: 3 2 若某校高一年级8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和 平均数分别是 _. 答案: 91.5,91.5 3一个企业,30%的员工年收入为1 万元, 65%的员工年收入为3 万元, 5%的员工年 收入为 11 万元
14、,则这个企业员工的年平均收入是_万元,年收入的中位数是_ 万元 解析:年平均收入为10.330.65110.052.8,中位数为3. 答案: 2.8 3 4已知x是x1,x2,x100的平均数,a是x1,x2,x40的平均数,b是x41,x42, x100的平均数,则下列各式正确的是_(填序号 ) x 40a60b 100 ;x 60a40b 100 ;xab; x ab 2 . 答案: 5已知数据x1,x2,x8的平均数为6,则数据2x16,2x26, 2x86 的平均数 为_ 答案: 6 6已知样本数据x1,x2,xn的平均数为h,y1,y2,ym的平均数为k,则把两 组数据合并成一组以后
15、,这组样本的平均数为_ 答案: nhmk nm 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 7一个高中研究性学习小组对本地区2014年至 2016年快餐公司发展情况进行了调查, 制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如 图),根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭_万盒 解析: 2014年: 301.030(万),2015 年:452.090(万),2016年:901.5135(万), x 1 3(3090135)85(万) 答案: 85 8某餐厅共有7 名员工,所有员工的工资情况如下表: 人员经理厨师甲厨师乙会计 服务 员甲 服务 员乙
16、 勤杂工 人数1111111 工资3 000700500450360340320 解答下列问题: (1)餐厅所有员工的平均工资是_ (2)所有员工工资的中位数是_ (3)用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当?_. (4)去掉经理的工资后,其他员工的平均工资是_,是否也能反映该餐厅员工工 资的一般水平?_.(填“能”或“不能”) 解析: (1)平均工资为 (3 000700500450360340320)7810. (2)由表格可知中位数为450. (3)用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当 (4)去掉经理的工资后, 其他员工的平均工资为(700500450360 3
17、40320)6445. 平均工资能反映该餐厅员工工资的一般水平 答案: (1)810 (2)450 (3)中位数(4)445 能 9为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药, B 药)的疗效,随机地选取20位患者 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 服用 A 药,20 位患者服用B药, 这 40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡 眠时间 (单位: h)试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20位患者日平均增加的睡眠时间: 06 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 25 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.
18、4 服用 B 药的 20位患者日平均增加的睡眠时间: 32 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 16 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好? 的平均数为x, B 药观测数据的平均数解: (1)设 A 药观测数据 为y. 由观测结果可得 x 1 20(0.61.21.21.51.51.82.2 2.32.3 2.4 2.5 2.62.7 2.72.8 2.93.03.13.23.5)2.3, y 1
19、 20(0.50.5 0.60.80.9 1.11.21.21.3 1.41.6 1.71.8 1.92.1 2.42.52.62.73.2)1.6. 由以上计算结果可得xy,因此可看出A 药的疗效更好 (2)由观测结果可绘制如下茎叶图: 以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有 7 10的叶集中在茎 2,3 上,而B 药疗效的 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 试验结果有 7 10的叶集中在茎 0,1 上,由此可看出A 药的疗效更好 10有一组数据:x1,x2,xn(x1x2 xn)的算术平均数为10,若去掉其中最大的 一个,余下数据的算术平均数为9;若去掉其中最小的一个,余下数据的算术平均数为11. (1)求出第一个数x1关于n的表达式及第n个数xn关于n的表达式; (2)若x1,x2,xn都是正整数,试求第n个数xn的最大值,并举出满足题目要求且 xn取到最大值的一组数据 解: (1)依条件得 x1x2xn10n, x1x2xn 19n1, x2x3xn11n1, 由得xnn9.又由得x111n. (2)由于x1是正整数,故x111n1? 1n 10,故xnn9 19.当n10 时,x1 1, x10 19,x2x3x980,此时,x26,x37,x48,x59,x6 11,x712,x813, x914.
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