高中数学第3章概率3.4互斥事件教学案苏教版必修37.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 互斥事件 1什么叫互斥事件? 2若A,B是两个事件,则AB的含义是什么? 3互斥事件的概率加法公式是什么? 4什么叫对立事件,对立事件有什么性质? 新知初探 1互斥事件 (1)定义:不能同时发生的两个事件称为互斥事件 (2)如果事件A1,A2,An中的任何两个都是互斥事件,就说事件A1,A2,An彼 此互斥 点睛 (1)若事件A1,A2,An彼此互斥,则在这些事件中,至多有一个发生,即可以有一 个发生,而其他的均不发生,也可以是均不发生 (2)如果事件A与B是互斥事件,那么A与B同时发生的概率为0. (3)从集合的角度来看,事件A,B彼此互斥,是指事
2、件A,B所含的结果 组成的集合彼此不相交,也就是它们的交集是空集,所有事件结果构成全集I, 如图所示 2互斥事件的概率加法公式 (1)AB表示在一次试验中A,B至少有一个发生 (2)如果事件A,B互斥,那么事件AB发生的概率等于事件A,B分别发生的概率的 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 和,即P(AB)P(A)P(B) (3)如果事件A1,A2, ,An两两互斥, 则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 点睛 运用上述公式必须判断事件间的互斥性,然后再判断它们当中是否必有一个发生,否则 不能用公式 3对立事件 (1)定义:两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件
3、,事件A的对立事 件记为A. (2)性质:P(A)P(A) 1,P(A)1P(A) 点睛 (1)两个事件是对立事件,则必然为互斥事件;但两个互斥事件不一定是对立事件; (2)对立事件是一种特殊的互斥事件,在一次试验中,对立事件有且只有一个发生,而 互斥事件则可能两个都不发生,即互斥事件至多有一个发生; (3)从集合的角度看,表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集,但两个对立事 件的并集是全集,而两个互斥事件的并集不一定是全集;(4)两个对立事件的概率之和一定 等于 1,而两个互斥事件的概率之和小于或等于1. 小试身手 1某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名同学去参加比赛 (1)“恰有一
4、名男生”和“恰有两名男生”; (2)“至少有一名男生”和“至少有一名女生”; (3)“至少有一名男生”和“全是男生”; (4)“至少有一名男生”和“全是女生” 试判断以上各对事件是不是互斥事件,并说明理由 解: (1)是互斥事件 理由如下: 在所选的两名同学中, “恰有一名男生” 实质是选出 “一名男生, 一名女生”, 它与“恰有两名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件 (2)不是互斥事件 理由如下:“至少有一名男生”包括“一名男生,一名女生”和“两名都是男生”两种 结果, “至少有一名女生”包括“一名女生,一名男生”和“两名都是女生”两种结果,它 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理
5、 们可能同时发生 (3)不是互斥事件 理由如下:“至少有一名男生”包括“一名男生,一名女生”和“两名都是男生”两种 结果,这与“全是男生”可能同时发生 (4)是互斥事件 理由如下:“至少有一名男生”包括“一名男生,一名女生”和“两名都是男生”两种 结果,它与“全是女生”不可能同时发生,所以一定是互斥事件 2 某射手在一次射击训练中,射中 10 环、 9环、 8 环、 7 环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28 , 计算这个射手在一次射击中射中10环或 7环的概率 解:记“射中10环”为事件A, “射中 7 环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不 可能同时发生,故A与B是互斥事件
6、 射中 10 环或 7 环的概率为P(AB)P(A)P(B) 0.210.280.49. 典例 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件A为“只订甲报” ,事件B为 “至少订一种报” ,事件C为“至多订一种报” ,事件D为“不订甲报” ,事件E为“一种 报也不订”判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件 (1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E. 解 (1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报,即事件A与事件C有可能同 时发生,故A与C不是互斥事件 (2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故B与E 是互
7、斥事件由于事件B发生可导致事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B一定 不发生,故B与E还是对立事件 (3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,即事件B发生, 事件D也可能发生,故B与D不互斥 (4)事件B“至少订一种报”中有这些可能: “只订甲报”“只订乙报”“订甲、 乙两种报”, 事件C“至多订一种报”中有这些可能:“什么也不订” “只订甲报”“只订乙报” 由于这两 个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件 (5)由(4)的分析,事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能,故事件C与事件E 有可能同时发生,故C与E不是互斥事件 互斥事件、对立事件的判断 积一时之跬步
8、臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 互斥事件、对立事件的判断方法 (1)利用基本概念 互斥事件不可能同时发生; 对立事件首先是互斥事件,且必有一个要发生 (2)利用集合的观点来判断 设事件A与B它们所含的结果组成的集合分别是A,B:若事件A与B互斥,即集 合AB ? ;若事件A与B对立,即集合AB? ,且ABI,也即A? IB或B ? IA;对互斥事件 A与B的和AB,可理解为集合AB. 活学活用 1下列说法: 将一枚硬币抛两次,设事件A: “两次正面朝上” ,事件B: “只有一次反面朝上” ,则 事件A与B是对立事件 若事件A与B为对立事件,则事件A与B为互斥事件 若事件A与B为互斥事件,则事件A
9、与B为对立事件 若事件A与B为对立事件,则事件AB为必然事件 其中,正确的个数是_ 解析:由对立事件与互斥事件的定义知,只有正确 答案: 2 2从 40 张扑克牌 (红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各 10 张)中任抽取1 张,判断 下列给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由 (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出牌的点数为5 的倍数”与“抽出牌的点数大于9” 解:(1)是互斥事件,不是对立事件理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张, “抽出红 桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件同时,不能保证其中必有一个 发
10、生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此二者不是对立事件 (2)即是互斥事件,又是对立事件理由是: 从 40 张扑克牌中任意抽取1 张, “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时 发生,且其中必有一个发生,因此它们既是互斥事件,又是对立事件 (3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件理由是: 从 40 张扑克牌中任意抽取1 张, “抽出牌的点数为5 的倍数” 与“抽出牌的点数大于9” 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 这两个事件可能同时发生,如抽出牌的点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能 是对立事件 . 典例 一盒中装有12 个球,其中5 个红球, 4 个黑球,
11、 2 个白球, 1 个绿球从中随 机取出 1 球,求: (1)取出 1 球是红球或黑球的概率; (2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率 解 记事件A1 任取 1球为红球 ,A2任取 1 球为黑球 ,A3任取 1 球为白球 , A4 任取 1 球为绿球 , 则P(A1) 5 12,P (A2) 4 12 ,P(A3) 2 12, P(A4) 1 12, 根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得 (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1A2)P(A1)P(A2) 5 12 4 12 3 4. (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1A2A3
12、)P(A1)P(A2)P(A3) 5 12 4 12 2 12 11 12. 针对这个类型的题目,首先要判断所给已知事件是否为互斥事件,再将要求概率的事件 写成几个已知概率的互斥事件的和最后用概率加法公式求得 活学活用 1现有语文、数学、英语、物理和化学共5 本书,从中任取1 本,取出的是理科书的 概率为 _ 解析:记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A,B,C,D,E,则A, B,C,D,E互斥,取到理科书的概率为事件B,D,E概率的和 P(BDE)P(B)P(D)P(E) 1 5 1 5 1 5 3 5. 答案: 3 5 2在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率
13、如下表: 年最高水位 互斥事件的概率 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (单位: m)8,10)10,12)12,14)14,16)16,18) 概率0.10.280.380.160.08 计算在同一时期内,河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率: (1)10,16)(m); (2)8,12)(m); (3)水位不低于14 m. 解:设水位在a,b)范围内的概率为P(a,b)由于水位在各范围内对应的事件是互斥 的,由概率加法公式得: (1)P(10,16)P(10,12)P(12,14)P(14,16)0.280.380.160.82. (2)P(8,12)P(8,10)P(10,1
14、2)0.10.280.38. (3)P(14,18)P(14,16)P(16,18)0.160.080.24. 典例 某学校成立了数学、英语、音乐3 个课外兴趣小组,3 个小组 分别有39,32,33 个成员,一些成员参加了不止1 个小组,具体情况如图所 示随机选出一个成员,求 (1)此人至少参加2 个小组的概率; (2)此人参加不超过2 个小组的概率 解 (1)由图知 3 个课外兴趣小组的总人数为60. 用A表示事件“选取的成员只参加1 个小组”,则A表示“选取的成员至少参加2 个 小组” 于是P(A)1P(A)1 6 810 60 3 5 . (2)设B“选取的成员参加不超过2 个小组”,
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