高中数学第一章.2球的体积和表面积学案含解析新人教A版必修01.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 13.2 球的体积和表面积 球的体积和表面积 提出问题 从生活经验中我们知道,不能将橘子皮展成平面,因为橘子皮近似于球面,这种曲面不 能展成平面图形那么,人们又是怎样计算球面的面积的呢?古人在计算圆周率时,一般是 用割圆术,即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长理论上,只要取得圆内接正多边 形的边数越多,圆周率越精确,直到无穷这种思想就是朴素的极限思想 问题 1:运用上述思想能否计算球的表面积和体积? 提示:可以 问题 2:求球的表面积和体积需要什么条件? 提示:已知球的半径即可 导入新知 1球的体积 设球的半径为R,则球的体积V 4 3 R3.
2、2球的表面积 设球的半径为R,则球的表面积S4R 2,即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍 化解疑难 1一个关键 把握住球的表面积公式S球 4R 2,球的体积公式 V球 4 3 R3是计算球的表面积和体积的 关键,半径与球心是确定球的条件把握住公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎 刃而解了 2两个结论 (1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方 (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 球的体积与表面积 例 1 若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,求圆锥侧面积与球面 面积之比 解 设圆锥的底面半径为r,高为h
3、,母线长为l,球的半径为R, 则由题意得 1 3 r2h 4 3 R 3, r2R. 1 3 (2R) 2 h 4 3 R 3, Rh,r2h, lr2h25h, S圆锥侧rl 2h5h25h2,S球4R2 4h2, S圆锥侧 S球 25h2 4h2 5 2 . 类题通法 求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积 或表面积公式求解 (2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题目 也就易如反掌了 活学活用 球的体积是 32 3 ,则此球的表面积是( ) A12B16 C. 16 3 D. 64 3
4、 答案: B 根据三视图计算球的体积与表面积 例 2 一个几何体的三视图(单位: cm)如图所示,则该几何体的表 面积是 _cm 2. 答案 4 12 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 类题通法 1 由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积,最重要的是还原组合体, 并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义根据球与球的组合体的结构特征及数据计 算其表面积或体积此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆 2计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接,避免重叠和交叉 活学活用 如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的表 面积为 ( ) A18B30 C3
5、3D40 答案: C 球的截面问题 例 3 已知球的两平行截面的面积为5和8,它们位于球心的同一侧,且相距为1,求 这个球的表面积 解 如图所示,设以r1为半径的截面面积为5,以r2为半径的截面 面积为 8,O1O21,球的半径为R,OO2x,那么可得下列关系式: r 2 2R 2x2 且r2 2 (R 2 x 2)8, r21R2(x1)2且r21 R 2(x1)25, 于是 (R2x2) R 2(x1)2 8 5, 即R2x2R 2x22x13, 2x2,即x1. 又 (R2x2)8, R218,R29,R3. 球的表面积为S4R24 3236 . 类题通法 球的截面问题的解题技巧 (1)
6、有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题 (2)解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形, 即R2d2r 2. 活学活用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且ACBC6, AB4,求球的表面积与球的体积 解:如图,设球心为O,球半径为R,作OO1垂直平面ABC于O1, 由于OAOBOCR, 则O1是ABC的外心 设M是AB的中点, 由于ACBC,则O1在CM上 设O1Mx,易知O1MAB,设O1A22x2, O1CCMO1M6222x. 又O1AO1C,2 2 x2
7、6222x. 解得x 72 4 .则O1AO1BO1C 92 4 . 在 RtOO1A中,O1O R 2, OO1A90,OAR.由勾股定理得 R 2 2 92 4 2 R 2.解 得R 36 2 . 故S球4R2 54,V球 4 3 R3276 . 1探究与球有关的组合问题 典例 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为_ 解析 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长,即 2R122 232 14,所以球 的表面积S4R2 14 . 答案 14 多维探究 1球的内接正方体问题 若棱长为2 的正方体的各个顶点均在同一球面上,求此球的体
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