高中数学第一章.3直观图学案含解析新人教A版必修06.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 12.3 空间几何体的直观图 斜二测画法 提出问题 美术与数学,一个属于艺术,一个属于科学,看似毫无关系,但事实上这两个学科之间 有着千丝万缕的联系,在美术画图中,空间图形或实物在画板上画得既富有立体感,又能表 达出各主要部分的位置关系和度量关系 问题 1:在画实物图的平面图形时,其中的直角在图中一定画成直角吗? 提示:为了直观,不一定 问题 2:正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么?为什么? 提示:平行四边形、扁圆形为增加直观性 问题 3:这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗? 提示:不相同 导入新知 1用斜二测画法画平面图
2、形的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时, 把它们画成对 应的x轴和y轴,两轴相交于点O,且使xOy 45(或 135),它们确定的平 面表示水平面 (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线 段 (3)已知图形中平行于x轴的线段, 在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段, 长度 变为原来的一半 2用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 (1)画底面,这时使用平面图形的斜二测画法即可 (2)画z轴,z轴过点O,且与x轴的夹角为90,并画出高线(与原图高线相等, 画正棱柱时只需要画侧棱即可),连线成图 (3)擦去辅助线
3、,被遮线用虚线表示 化解疑难 1画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定多边形顶点的位置,借助于平面直角坐 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连接即可 2用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变,垂线长减半,直角画45(或 135) 水平放置的平面图形的直观图 例 1 按图示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直 观图 解 画法: (1)在图中作AGx轴于G,作DHx轴于H. (2)在图中画相应的x轴与y轴,两轴相交于点O,使xOy 45. (3)在图中的x轴上取OBOB,OGOG,OCOC,OHOH, y轴上取OE 1 2OE,分别过 G和H作y
4、轴的平行线,并在相应的平行线上取G A 1 2GA ,HD 1 2HD . (4)连接AB,AE,ED,DC,并擦去辅助线GA,HD,x轴 与y轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图 ) 类题通法 1在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多 边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点 2画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变 ),与坐标轴不平行的 线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段 活学活用 如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图 形,请画出它的直观图 解:画法: (1)以
5、AB边所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,两轴 相交于点O(如图 ),画相应的x轴和y轴,两轴相交于点O,使x Oy 45(如图 ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)在图中,以O为中点,在x轴上截取ABAB;分别过A,B作y轴的 平行线,截取AE 1 2 AE,BC 1 2 BC;在y轴上截取OD 1 2OD . (3)连接ED,DC,CE, 并擦去辅助线x轴和y轴,便得到平面图形ABCDE 水平放置的直观图ABCDE(如图 ) 空间几何体的直观图 例 2 用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD-ABCD的直观图 解 画法: (1)画轴如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相
6、交于点O,使xOy45, xOz90. (2)画底面以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN2 cm;在y轴上取线段PQ, 使PQ1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点 分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是正方体的底面ABCD. (3)画侧棱过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA,BB,CC,DD. (4)成图顺次连接A,B,C,D,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改 为虚线 ),就得到正方体的直观图(如图 ) 类题通法 画空间图形的直观图的原则 (1)用斜二测画法画空间图形的直观图时,图形中平行
7、于x轴、y轴、z轴的线段在直观图 中应分别画成平行于x轴、y轴、z轴的线段 (2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于y轴的线段长度变为原来的 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 2. 活学活用 如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图 解: (1)画轴如图,画x轴、y轴、z轴,使xOy 45,xOz90. (2)画底面由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一个正四棱台,上部是 一个正四棱锥,利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取OO,使OO等于三视图 中相应高度,过O作Ox的平行线Ox,Oy的平行线Oy,利用Ox与Oy 画出上底面ABCD.
8、 (3)画正四棱锥顶点在Oz上截取点P,使PO等于三视图中相应的高度 (4)成图连接PA,PB,PC,PD,AA,BB,CC,DD,整理得到三视 图表示的几何体的直观图,如图. 直观图的还原和计算问题 例 3 如图所示, 梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图 若A1D1Oy,A1B1 C1D1,A1B1 2 3C 1D1 2,A1D1 OD11.试画出原四边形的形状,并求原图形的面积 解 如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取ODOD11,OCOC12. 在过点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 在过点A的x轴的平行线上截取ABA1
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