高中数学第一章1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案含解析新人教A版选修2.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 11.11.1.2 变化率问题导数的概念 平均变化率 假设下图是一座山的剖面示意图,建立如图所示的平面直角坐标系A是出发点,H是 山顶爬山路线用函数yf(x)表示 自变量x表示某旅游者的水平位置,函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点A 的坐标为 (x1,y1),点B的坐标为 (x2,y2) 问题 1:若旅游者从点A爬到点B,且这段山路是平直的,自变量x和函数值y的改变 量x,y分别是多少? 提示:自变量x的改变量为xx2x1,函数值的改变量为yy2y1. 问题 2:能否根据y的大小判断山路的陡峭程度? 提示:不能 问题 3:怎样用数量刻画弯曲
2、山路的陡峭程度呢? 提示:对山坡AB来说, y x y2y1 x2x1可以近似地刻画 问题 4:能用 y x刻画山路陡峭程度的原因是什么? 提示:因 y x表示 A,B两点所在直线的斜率k,显然,“线段”所在直线的斜率越大, 山路越陡这就是说,竖直位移与水平位移之比 y x越大,山路越陡;反之,山路越缓 问题 5:从A到B与从A到C,两者 y x相同吗? 提示:不相同 1函数的平均变化率 对于函数yf(x),给定自变量的两个值x1和x2,当自变量x从x1变为x2时,函数值从 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 f(x1)变为f(x2),我们把式子 fx2fx1 x2x1 称为函数yf(x
3、)从x1到x2的平均变化率 习惯上用x表示x2x1,即xx2x1,可把x看作是相对于x1的一个“增量” ,可用 x1x代替x2;类似地,yf(x2)f(x1)于是,平均变化率可表 示为 y x. 2平均变化率的几何意义 设A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点, 函 数yf(x) 的 平 均 变 化 率 y x fx2fx1 x2x1 fx1xfx1 x 为割线AB的斜率,如右图所示 对x,y的理解 (1)x,y是一个整体符号,而不是与x,y相乘 (2)x1,x2是定义域内不同的两点,因此x0,但x可正也可负;yf(x2)f(x1)是x x2x1相应的改变量
4、,y的值可正、可负,也可为零,因此平均变化率可正、可负,也可 为零 . 导数的概念 一质点的运动方程为s83t2,其中s表示位移,t表示时间 问题 1:试求质点在这段时间内的平均速度 提示: s t 831t 28312 t 63t. 问题 2:当t趋近于 0 时,问题1 中的平均速度趋近于何值?如何理解这一速度? 提示:当t趋近于 0 时, s t趋近于 6.这时的平均速度即为 t1 时的瞬时速度 1瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度: 若物体运动的路程与时间的关系式是sf(t),当t趋近于0 时,函数f(t)在t0到t0t 之间的平均变化率 ft0tft0 t 趋近于常数,
5、我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的 瞬时速度 2导数的定义 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一般地, 函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是li m x0 y x li m x 0 fx0xfx0 x , 我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数,记作f(x0)或y |xx0,即f(x0)li m x0 y x li m x0 fx0xfx0 x . 导数概念的解读 (1)导数是一个局部概念,它只与函数yf(x)在xx0处及其附近的函数值有关,与x 无关 (2)f(x0)是一个常数, 即当x0 时, 存在一个常数与 fx0xfx0 x 无限接近 如 果当x0 时, li m x 0
6、 y x不存在,则称函数 f(x)在xx0处不可导 求函数的平均变化率 (1)已知函数yf(x)x21,则在x2,x0.1 时,y的值为 ( ) A 0.40 B0.41 C0.43 D0.44 (2)已知函数f(x)x 1 x, 分别计算 f(x)在自变量x从 1 变到 2 和从 3变到 5 时的平均变化 率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快 (1)选 B yf(2x)f(2)f(2.1)f(2) 2.1 2220.41. (2)自变量x从 1 变到 2 时,函数f(x)的平均变化率为 f2f1 21 2 1 2 1 1 1 1 2; 自变量x从 3变到 5 时,函数f(x)的平均变化率为
7、 f5f3 53 5 1 5 3 1 3 2 14 15. 因为 1 2 14 15,所以函数 f(x)x 1 x在自变量 x从 3 变到 5 时函数值变化得较快 求函数平均变化率的步骤 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)求自变量的改变量xx2x1; (2)求函数值的改变量yf(x2)f(x1); (3)求平均变化率 y x fx2fx1 x2x1 . 分别计算下面三个图象表示的函数h(t)在区间上的平均变化率 解:对于图,hh(3)h(0)10010, h t 10 30 10 3 ,即平均变化率为 10 3 .同理可以算得图、图中函数h(t)在区间上的平 均变化率均为 10
8、3 . 求函数在某点处的导数 (1)设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a,b为常数 ), 则( ) Af(x)a Bf(x)b Cf(x0)aDf (x0)b (2)求函数f(x)x在x1 处的导数 (1)选 C f(x0)li m x0 fx0xfx0 x li m x0 (abx)a. (2)由导数的定义知,函数在x 1 处的导数f (1) li m x0 f1xf1 x ,而 f1xf1 x 1x1 x 1 1x1 ,又 li m x0 1 1x1 1 2,所以 f(1) 1 2. 利用定义求导数的三步曲 由导数的定义知,求一个函数yf(x)在x
9、x0处的导数的步骤如下: (1)求函数值的改变量yf(x0x)f(x0); (2)求平均变化率 y x fx0xfx0 x ; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)取极限,得导数f (x0)li m x0 y x. 简认为:一差,二比,三趋近 求函数y 4 x2 在x2 处的导数 解:y 4 x2 2 4 22 4 x2 21 x 24 x x2 2 , y x x4 x2 2. f(2) li m x 0 y x li m x 0 x4 x2 2 1. 瞬时速度的应用 若一物体的运动方程为s 293t3 2,0t3, 3t 22, t3, (路程单位: m,时间单位: s)求:
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