高中数学第一章1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学案含解析新人教A版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 11.2 & 1.1.3 四种命题四种命题间的相互关系 四种命题 提出问题 观察下列四个命题: (1)若一个四边形的两条对角线相等,则这个四边形是矩形; (2)若一个四边形是矩形,则其两对角线相等; (3)若一个四边形两条对角线不相等,则这个四边形不是矩形; (4)若一个四边形不是矩形,则其两对角线不相等 问题:命题 (1)与命题 (2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系? 提示:命题 (1)的条件是命题 (2)的结论,且命题(1)的结论是命题(2)的条件; 对于命题 (1)和 (3),其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结
2、论 的否定; 对于命题 (1)和 (4),其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件 的否定 导入新知 1四种命题的概念 一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件, 那么把这样的两个命题叫做互逆命题,如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么 把这样的两个命题叫做互否命题,如果是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这样 的两个命题叫做互为逆否命题,把第一个叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、 否命题、逆否命题 2四种命题结构 化解疑难 1用p和q分别表示原命题的条件和结论,用綈p和綈q分别表示p,q的否定 2四种命题是相对的,
3、一个命题是什么命题不是固定不变的. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 四种命题之间的关系 提出问题 问题:我们同样观察知识点一中的四个命题,你能说出其中任意两个命题之间的相互关 系吗? 提示:命题 (2)(3)是互为逆否命题,命题(2)(4)是互否命题,命题(3)(4)是互逆命题 导入新知 1四种命题之间的关系 2四种命题的真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系 化解疑难 互逆命题、 互否命题、 互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系,不具有特指性, 即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关
4、系中的一种,且唯一. 四种命题的概念 例 1 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否 命题 (1)全等三角形的对应边相等; (2)当x2 时,x23x20. 解 (1)原命题:若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等; 逆命题:若两个三角形三边对应相等,则这两个三角形全等; 否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形三边对应不相等; 逆否命题:若两个三角形三边对应不相等,则这两个三角形不全等 (2)原命题:若x2,则x2 3x20; 逆命题:若x23x2 0,则x2; 否命题:若x2,则x23x 20; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 逆否命题:若
5、x23x20,则x2. 类题通法 (1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换 即得逆命题, 将条件和结论同时否定即得否命题,将条件和结论互换的同时,进行否定即得 逆否命题 (2)如果原命题含有大前提,在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时,必须注意 各命题中的大前提不变 活学活用 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题、逆否命题,然 后判断它们的真假: (1)正数a的平方根不等于0; (2)平行于同一条直线的两条直线平行 解: (1)原命题:若a是正数,则a的平方根不等于0.是真命题 逆命题:若a的平方根不等于0,则a是正数是假命题
6、 否命题:若a不是正数,则a的平方根等于0.是假命题 逆否命题:若a的平方根等于0,则a不是正数是真命题 (2)原命题:若两条直线平行于同一条直线,则这两条直线平行是真命题 逆命题:若两条直线平行,则这两条直线平行于同一条直线是真命题 否命题:若两条直线不平行于同一条直线,则这两条直线不平行是真命题 逆否命题:若两条直线不平行,则这两条直线不平行于同一条直线是真命题. 四种命题真假的判断 例 2 有下列四个命题: (1)“若xy0,则x,y互为相反数”的否命题; (2)“若xy,则x2y2”的逆否命题; (3)“若x3,则x2x6 0”的否命题; (4)“对顶角相等”的逆命题 其中真命题的个数
7、是( ) A 0 B1 C2 D3 解 选 B (1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性,其逆命题为“若x,y互为 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 相反数,则xy 0” ,为真命题; (2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性,而原命题为假命题(如x0,y 1),故其 逆否命题为假命题; (3)该命题的否命题为“若x3,则x2x60” ,很明显为假命题; (4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”,显然是假命题 类题通法 解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念,原命题与它的逆否命题同真同假,原命题 的否命题与逆命题也互为逆否命题,同真同假,故只判断二者中的一个即可 活学活用 写出下
8、列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假 (1)在ABC中,若BCAC,则AB; (2)相等的两个角的正弦值相等 解: (1)逆命题:在ABC中,若AB,则BCAC.真命题 否命题:在ABC中,若BCAC,则AB.真命题 逆否命题:在ABC中,若AB,则BCAC.真命题 (2) 逆命题:若两个角的正弦值相等,则这两个角相等假命题 否命题:若两个角不相等,则这两个角的正弦值也不相等假命题 逆否命题:若两个角的正弦值不相等,则这两个角不相等真命题. 等价命题的应用 例 3 证明:已知函数f(x)是 (, )上的增函数,a,bR,若f(a)f(b)f(a) f(b),则ab0. 解 证明:
9、法一:原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(, )上的增函数,a, bR,若ab0,则f(a)f(b)f(a)f(b)” 若ab0,则ab,ba. 又f(x)在 (, )上是增函数, f(a)f(b),f(b)f(a), f(a)f(b)f(a)f(b) 即原命题的逆否命题为真命题 原命题为真命题 法二:假设ab0,则ab,ba. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又f(x)在 (, )上是增函数, f(a)f(b),f(b)f(a) f(a)f(b)f(a)f(b) 这与已知条件f(a)f(b)f(a)f(b)相矛盾 因此假设不成立,故ab 0. 类题通法 由于原命题和它的逆否命题
10、有相同的真假性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困 难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题 活学活用 证明:若m2n22,则mn2. 证明:将“若m 2n22,则 mn2”视为原命题,则它的逆否命题为“若mn 2, 则m2n22” 由于mn2,则m2n2 1 2(m n) 21 2 22 2,所以m2n22. 故原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题 2.否命题理解中的误区 典例 将命题“当a0 时,函数yaxb是增函数”写成“若p,则q”的形式,并 写出其否命题 解 “若p,则q”的形式:若a0,则函数yaxb是增函数 否命题:若a0,则函数yaxb不是
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- 高中数学 第一章 1.1 命题 相互 关系学 解析 新人 选修
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