高中数学第一章1.1.3导数的几何意义学案含解析新人教A版选修2.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 11.3 导数的几何意义 导数的几何意义 如下图,Pn的坐标为 (xn,f(xn)(n1,2,3,4),P的坐标为 (x0,y0),直线PT为过点P的 切线 问题 1:割线PPn的斜率kn是什么? 提示:割线PPn的斜率kn yn xn fxnfx0 xnx0 . 问题 2:当点Pn趋近于点P时,割线PPn与过点P的切线PT有什么关系? 提示:当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于过点P的切线PT. 问题 3:当Pn无限趋近于点P时,kn与切线PT的斜率k有什么关系? 提示:kn无限趋近于切线PT的斜率k. 问题 4:如何求得过点P的切线PT的斜率?
2、 提示: 函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k, 即kli m x0 fx0xfx0 x f(x0) 导数的几何意义 函 数f(x) 在xx0处 的 导 数 就 是 切 线PT的 斜 率k, 即kf (x0) li m x0 fx0xfx0 x . 导数与函数图象升降的关系 若函数yf(x)在xx0处的导数存在且f(x0)0(即切线的斜率大于零),则函数yf(x) 在xx0附近的图象是上升的;若f(x0)0(即切线的斜率小于零),则函数yf(x)在xx0 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 附近的图象是下降的导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢. 导函数 对于函数f(x
3、)x22. 问题 1:如何求f(x0)? 提示:f (x0)li m x 0 x0x 22 x202 x li m x0 (2x0x) 2x0. 问题 2:若x0是一变量x,f(x)是常量吗? 提示:f (x) 2x,说明f(x)不是常量,而是关于x的函数 导函数的定义 对于函数yf(x),当xx0时,f(x0) 是一个确定的数当x变化时,f(x) 便是x的 一个函数,我们称它为f(x)的导函数 (简称导数 )yf(x)的导函数有时也记作y,即f(x) y li m x 0 fxxfx x . f(x0)与f(x)的异同 区别联系 f(x0)f(x0)是具体的值,是数值在xx0处的导数f(x0
4、)是导函数f(x)在x x0处的函数值, 因此求函数在某一点处的 导数,一般先求导函数,再计算导函数在 这一点的函数值 f(x) f(x)是f(x)在某区间I上每一点都 存在导数而定义的一个新函数,是 函数 利用导数定义求函数的导数 利用导数的定义求下列函数的导数 (1)y 3x22x1; (2)y 3 x2a(a 为常数 ) (1)y 3(xx)22(xx) 1(3x22x 1) (26x)x3(x)2, y x 26xx 3x 2 x 26x3x, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 y li m x0 y xli m x 0 (26x3x)26x. (2)y 3 xx 2a 3 x
5、2 a 6xx 3x 2 x2xx 2 , y x 6xx3x 2 x2xx 2 x 6x3x x2xx 2, li m x0 y xli m x 0 6x3x x2xx 2 6 x3, 即y 6 x3. 求函数yf(x)的导数的步骤 (1)求yf(xx)f(x); (2)求 y x fxxfx x ; (3)计算f(x)li m x0 y x. 利用导数的定义求函数f(x)x3x2 的导数f(x),并利用f(x)求f (1),f (1) 解:利用导数的定义, 得f (x)li m x0 fxxfx x li m x0 xx 3 xx2x3x2 x li m x03x 21, f(x) 3x2
6、1,则f(1)4,f(1)4. 求曲线的切线方程 已知曲线y 1 3 x3及其上一点P2, 8 3 . (1)求点P处切线的斜率; (2)写出点P处的切线方程 (1)y 1 3x 3, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 y li m x0 y xli m x 0 1 3 xx 31 3x 3 x 1 3 li m x0 3x2x3xx 2 x 3 x 1 3li m x0 x2, y| x22 24, 点P处切线的斜率为4. (2)由(1)知,点P处切线斜率为4, 且点P的坐标为2, 8 3 , 在点P处的切线方程是y 8 34(x2), 即 12x3y160. 利用导数的几何意义求曲
7、线的切线方程的步骤 (1)求出函数f(x)在点x0处的导数f(x0); (2)写出切线方程,即yf(x0)f(x0)(xx0) 特别注意:若在点(x0,y0)处切线的倾斜角为 2,此时所求的切线平行于 y轴,所以直接 得切线方程为xx0. 求曲线y 1 x在点 1 2,2 处的切线的斜率 解:因为y li m x0 y x li m x0 1 xx 1 x x li m x0 1 x2xx 1 x2, 所以曲线在点 1 2,2 的切线的斜率为 ky|x 1 2 4. 求切点坐标 若曲线yx26 在点P处的切线垂直于直线2xy50, 求点P的坐标及切线方程 设切点P的坐标为 (x0,y0), 积
8、一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 因为f(x0)li m x0 fx0xfx0 x li m x0 x0x 26 x20 6 x li m x0 (2x0x)2x0, 所以 2x02 1,解得x0 1 4, 所以y0x2 06 97 16,故点 P的坐标为 1 4, 97 16 , 切线方程为y 97 16 1 2 x 1 4 , 即 8x16y950. 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标 (x0,y0); (2)求导函数f(x); (3)求切线的斜率f(x0); (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0; (5)由点 (x0,y0)在曲线f(x)上,将 (x0,
9、y0)代入求y0得切点坐标 曲线yx33x21 在点P处的切线平行于直线y9x1,则切线方程为( ) Ay9x By9x26 Cy9x26 Dy9x6 或y9x 26 解析:选 D y x fx0xfx0 x x0x 33 x0x 21 x303x20 1 x (x)23x0x3x3x206x0. 所以f(x0)li m x03x 2 06x0, 于是 3x2 06x09,解得x03 或x0 1, 因此,点P的坐标为 (3,1)或( 1, 3) 又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y9(x3)1 或y9(x1)3,即y 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 9x26或y9x6. 2
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