高中数学第一章1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率导数教学案苏教版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 11.2 瞬时变化率导数 曲线上一点处的切线 如图Pn的坐标为 (xn,f(xn)(n 1,2,3,4),P的坐标为 (x0,y0) 问题 1:当点Pn点P时,试想割线PPn如何变化? 提示:当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置 问题 2:割线PPn斜率是什么? 提示:割线PPn的斜率是kn fxnfx0 xnx0 . 问题 3:割线PPn的斜率与过点P的切线PT的斜率k有什么关系呢? 提示:当点Pn无限趋近于点P时,kn无限趋近于切线PT的斜率 问题 4:能否求得过点P的切线PT的斜率? 提示:能 1割线 设Q为曲线C上不同于P的一点,
2、这时,直线PQ称为曲线的割线 2切线 随着点Q沿曲线C向点P运动,割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼 近点P时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l也称为曲线在点P 处的切线 . 瞬时速度与瞬时加速度 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一质点的运动方程为S8 3t2,其中S表示位移,t表示时间 问题 1:该质点在 1,1t这段时间内的平均速度是多少? 提示:该质点在1,1t这段时间内的平均速度为 831t 283 12 t 63 t. 问题 2:t的变化对所求平均速度有何影响? 提示:t越小,平均速度越接近常数6. 1平均速度 运动物体的位移与所用时间
3、的比称为平均速度 2瞬时速度 一般地,如果当t无限趋近于0时, 运动物体位移S(t)的平均变化率 St0tSt0 t 无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时速度,也就是位移对于时间 的瞬时变化率 3瞬时加速度 一般地,如果当t无限趋近于0 时, 运动物体速度v(t)的平均变化率 vt0tvt0 t 无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时加速度,也就是速度对于时 间的瞬时变化率 导数 1导数 设函数yf(x)在区间 (a,b)上有定义,x0(a,b),若x无限趋近于0 时,比值 y x fx0xfx0 x 无限趋近于一个常数A,则称f(x)在xx0处可导,并称
4、该常数A为函 数f(x)在xx0处的导数,记作f(x0) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2导数的几何意义 导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率 3导函数 (1)若f(x)对于区间 (a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变 化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f(x),在不引起混淆时, 导函数f (x)也简称f(x)的导数 (2)f(x)在xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值 1利用导数的几何意义,可求曲线上在某点处的切线的斜率,然后由点斜式写出直线 方程 2函数y
5、f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值,所以求函 数在一点处的导数,一般先求出函数的导函数,再计算这点的导函数值 对应学生用书 P5 求曲线上某一点处的切线 例 1 已知曲线yx 1 x上的一点 A2, 5 2 ,用切线斜率定义求: (1)点A处的切线的斜率; (2)点A处的切线方程 思路点拨 先计算 f2xf2 x ,再求其在x趋近于 0 时无限逼近的值 精解详析 (1)yf(2x)f(2) 2x 1 2x 2 1 2 x 22x x, y x x 2x2x x x 1 22x 1. 当x无限趋近于零时, y x无限趋近于 3 4, 即点A处的切线的斜率是 3
6、 4. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)切线方程为y 5 2 3 4(x2), 即 3x4y40. 一点通 根据曲线上一点处的切线的定义,要求曲线过某点的切线方程,只需求出切 线的斜率,即在该点处,x无限趋近于0 时, y x无限趋近的常数 1曲线y 1 2 x22 在点P1, 5 2 处的切线的斜率为_ 解析:设P1, 5 2 ,Q1x, 1 2 1x 2 2 ,则割线 PQ的斜率为kPQ 1 2 1x 22 5 2 x 1 2 x1. 当x无限趋近于0 时,kPQ无限趋近于 1,所以曲线y 1 2x 22 在点 P1, 5 2 处的 切线的斜率为1. 答案: 1 2已知曲线
7、y2x24x在点P处的切线的斜率为16,则P点坐标为 _ 解析:设P点坐标为 (x0,y0),则 fx0xfx0 x0xx0 2x 24x0 x 4x x 4x04 2x. 当x无限趋近于0 时, 4x042x无限趋近于4x04, 因此 4x0416,即x03, 所以y023 24 3181230. 即P点坐标为 (3,30) 答案: (3,30) 3已知曲线y3x2x,求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程 解:设A(1,2),B(1x,3(1x)2(1x), 则kAB 31x 2 1x3121 x 5 3x, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当x无限趋近于0 时, 53
8、x无限趋近于5,所以曲线y3x2x在点A(1,2)处的切线 斜率是 5. 切线方程为y25(x1),即 5xy30. 瞬时速度 例 2 一质点按规律S(t)at 21 做直线运动 (位移单位: m,时间单位: s),若该质点 在t2 s时的瞬时速度为8 m/s ,求常数a的值 思路点拨 先求出质点在t 2s时的平均速度,再根据瞬时速度的概念列方程求解 精解详析 因为SS(2t)S(2)a(2t)21a2214ata(t)2,所以 S t 4aat. 当t无限趋近于0 时, S t 无限趋近于4a. 所以t 2 s时的瞬时速度为4a m/s. 故 4a8,即a2. 一点通 要计算物体的瞬时速度,
9、只要给时间一个改变量t,求出相应的位移的改变 量S,再求出平均速度v S t ,最后计算当t无限趋近于0 时, S t 无限趋近常数,就是该 物体在该时刻的瞬时速度 4一做直线运动的物体,其位移S与时间t的关系是S3tt 2,则此物体在 t 2时的 瞬时速度为 _ 解析:由于S3(2t)(2t)2(3222)3t 4t(t)2t(t)2, 所以 S t tt 2 t 1t. 当t无限趋近于0 时, S t 无限趋近于常数1. 故物体在t2 时的瞬时速度为1. 答案: 1 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5 如果一个物体的运动方程S(t) t 22, 0t3, 293t3 2, t3,
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