高中数学第一章1.2.3第2课时直线与平面垂直学案苏教版必修191.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2.3 第 2 课时直线与平面垂直 1能正确判断直线与平面垂直的位置关系(重点 ) 2了解点到平面的距离和直线与平面间的距离(难点 ) 3理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理(重点、难点 ) 4了解直线与平面垂直的概念及直线与平面所成角的概念(重点 ) 基础初探 教材整理 1 直线与平面垂直的定义 阅读教材 P35P36思考以上的部分,完成以下问题 如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直,则称直线a与平面互相垂直, 符号表示:a.直线a叫做平面的垂线,平面叫做直线a的垂面,垂线和平面的交点称为 垂足 图形表示: 图 1254 判断 (正
2、确的打“” ,错误的打“”) (1)若直线l与平面内无数条直线垂直,则l.( ) (2)若直线l垂直于平面,则l与平面内的直线可能相交,可能异面, 也可能平行 () (3)若ab,a?,l,则lb.() (4)若l平面ABCD,则lBC.() 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 教材整理 2 直线与平面垂直的判定 阅读教材 P36P37第 5 行,完成下列问题 直线与平面垂直的判定定理 文字语言图形语言符号语言 如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线垂直,那么这条直线 垂直于这个平面 am an mnA m? n? a 1如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况: 三角形的两边;梯形
3、的两边;圆的两条直径;正六边形的两条边 能判定直线与此平面垂直的有_ 【解析】由线面垂直的判定定理可知能判定,而中线面可能平行、相交、 还可 能线在平面内,中由于正六边形的两边不一定相交,所以也无法判定线面垂直 【答案】 2下列条件中,能判定直线l平面的有 _ l与平面内的两条直线垂直; l与平面内的无数条直线垂直; l与平面内的某一条直线垂直; l与平面内的任意一条直线垂直 【解析】由直线与平面垂直的定义及判定定理知正确 【答案】 教材整理 3 直线与平面垂直的性质 阅读教材 P37第 8 行第 13行,完成下列问题 直线与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言符号语言 积一时之跬步臻千里之遥
4、程 马鸣风萧萧整理 如果两条直线垂直于同一个平 面,那么这两条直线平行 a b? ab 已知是平面,a,b是直线,且ab,a平面,则b与平面的位置关系是_ 【解析】由线面垂直的性质可知,若ab,a,则b. 【答案】垂直 教材整理 4 距离及直线与平面所成的角 阅读教材 P36第 13,14行及 P38第 4,5行和 P39例 3 以上部分内容,完成下列问题 1距离 (1)点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个点到这个平面的距离 (2)直线和平面的距离 一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线和这 个平面的距离 2直线与平面所成的
5、角 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的 角特别地:如果直线和平面垂直,那么就说这条直线与平面所成的角是直角;如果直线与 平面平行或在平面内,则它们所成的角是0的角 1在正方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB1,则点C到平面B1BDD1的距离为 _,AB到平面A1B1CD的距离为 _. 【导学号: 41292031】 【解析】连结AC,则ACBD,又BB1AC,故AC平面B1BDD1,所以点C到平 面B1BDD1的距离为 1 2AC 2 2 ,AB到平面A1B1CD距离等于A到该平面的距离,等于 2 2 . 【答案】 2 2 2 2 2如图 1 25
6、5 所示,三棱锥PABC中,PA平面ABC,PAAB,则直线PB与 平面ABC所成的角等于_ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 图 1255 【解析】PA平面ABC, PBA即为直线PB与平面ABC所成的角, 在 RtPAB中,PAAB,PBA45. 【答案】45 小组合作型 线面垂直判定定理的应用 如图 1256 所示,已知PA垂直于O所在的平面,AB是O的直径,C 是O上任意一点,过点A作AEPC于点E,求证:AE平面PBC. 图 1256 【精彩点拨】只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可,已知AEPC,再证 AEBC,即转为证BC垂直于平面PAC即可 【自主解答】PA平面A
7、BC,PABC. 又AB是O的直径, BCAC.而PAACA,BC平面PAC. 又AE? 平面PAC,BCAE. PCAE,且PCBCC,AE平面PBC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时,需在平面内找两条相交直线, 证明一条直线同时垂直于这两条相交直线,这是证明线面垂直的一个常用方法 2线线垂直与线面垂直的转化关系 线线垂直线面垂直 再练一题 1在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD 的中心,求证:EF平面BB1O. 图 1257 【证明】E,F分别是棱AB,BC的中点, EF是ABC的中
8、位线,EFAC, ABCD为正方形,ACBO,EFBO, 又BB1平面ABCD,EF? 平面ABCD, EFBB1, 又BOBB1B,EF平面BB1O. 线面垂直性质定理的应用 如图 1258,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上, 且EFA1D,EFAC.求证:EFBD1. 图 1258 【精彩点拨】利用线面垂直的性质定理证明EF,BD1垂直于平面AB1C可得结论 【自主解答】 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 如图所示, 连结AB1,B1C,BD,B1D1, DD1平面ABCD, AC? 平面ABCD, DD1AC. 又ACBD,BDDD1D, AC平面
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