高中数学第一章1.2充分条件与必要条件学案含解析新人教A版选修206.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2 分条件与必要条件 充分条件与必要条件 提出问题 在物理中,我们经常遇到这样的电路图: 问题 1:图中A开关闭合时B灯一定亮吗? 提示:一定亮 问题 2:B灯亮时A开关一定闭合吗? 提示:不一定,还可能是C开关闭合 导入新知 充分条件与必要条件 命题 真假 “若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题 推出 关系 p?qpq 条件 关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 化解疑难 1p是q的充分条件是指 “p成立可充分保证q成立,但是如果没有p,q也可能成立” 2q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有
2、q成立” ,或者说“若q不成立,则p 一定不成立” ;但即使有q成立,p未必会成立 . 充要条件 提出问题 如图是一物理电路图 问题 1: 图中开关A闭合,灯泡B亮;反之灯泡B亮,开关A一定闭合吗? 提示:一定闭合 问题 2:开关A闭合作为命题的条件p,灯泡B亮作为命题的结论q,你能判断p,q 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 之间的推出关系吗? 提示:p?q. 导入新知 充要条件 如果既有p?q,又有q?p,记作p?q.则p是q的充分必要条件,简称充要条件 化解疑难 p是q的充要条件时,q也是p的充要条件,即充要条件是相互的,我们也称条件p和 条件q是等价的,如果p和q是两个命题,则
3、这两个命题是等价命题 充分条件、必要条件、充要条件的判断 例 1 判断下列各题中p是q的什么条件 (1)在ABC中,p: cos 2Acos2B,q:AB; (2)p:x1,q:x2 1; (3)p: (a2)(a3)0,q:a3; (4)p:ab,q: a b1. 解 (1)在ABC中,A(0, ),B (0, ),且ABC .若 cos 2Acos2B,则 A B;反之,若AB,则 cos 2Acos2B.因此, p是q的充要条件 (2)由x 1可以推出x21;由x21,得x 1,或x1,不一定有x1.因此,p是 q的充分不必要条件 (3)由(a2)(a3)0 可以推出a2,或a3,不一定
4、有a3;由a 3可以得出 (a2)(a 3)0.因此,p是q的必要不充分条件 (4)由于ab,当b0 时, a b1; 当b0 时, a b 1,故若 ab,不一定有 a b 1; 当a 0,b0, a b1 时,可以推出 ab; 当a 0,b0, a b1 时,可以推出 ab. 因此p是q的既不充分也不必要条件 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 类题通法 充分、必要、充要条件的判断方法 判断p是q的什么条件,其实质是判断“若p,则q”及其逆命题“若q,则p”是真是 假,原命题为真而逆命题为假,p是q的充分不必要条件;原命题为假而逆命题为真,则p 是q的必要不充分条件;原命题为真,逆命
5、题为真,则p是q的充要条件;原命题为假,逆 命题为假,则p是q的既不充分也不必要条件,同时要注意反证法的运用 活学活用 指出下列各组命题中p是q的什么条件 (1)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形; (2)p: (x 1) 2(y2)20, q:(x 1)(y2)0. 解: (1)四边形的对角线相等四边形是平行四边形, 四边形是平行四边形四边形的对角线相等, p是q的既不充分也不必要条件 (2)(x1)2(y2)2 0?x1 且y2? (x 1) (y 2) 0, 而(x1)(y2) 0(x 1) 2(y2)20, p是q的充分不必要条件. 充要条件的证明 例 2 试证:一元二次方
6、程ax 2bx c0 有一正根和一负根的充要条件是ac 0. 解 (1)必要性: 因为方程ax 2bxc0 有一正根和一负根, 所以b24ac0,x1x2 c a 0(x1,x2为方程的两根 ),所以ac 0. (2)充分性:由ac0 可推得b24ac0 及x1x2 c a 0(x1,x2为方程的两根) 所以方程ax 2 bxc0 有两个相异实根, 且两根异号, 即方程ax 2 bxc0 有一正根和一负根 综上所述,一元二次方程ax 2 bxc0 有一正根和一负根的充要条件是ac0. 类题通法 充要条件的证明思路 (1)在证明有关充要条件的问题时,通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明在
7、积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明时, 要注意:若证明 “p的充要条件是q” ,那么“充分性” 是q?p, “必要性” 是p?q; 若证明“p是q的充要条件” ,则与之相反 (2)证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立若不易 直接证明,可根据命题之间的关系进行等价转换,然后加以证明 活学活用 已知x,y都是非零实数,且xy,求证: 1 x 1 y的充要条件是 xy0. 证明: (1)必要性:由 1 x 1 y, 得 1 x 1 y0,即 yx xy 0, 又由xy,得yx0,所以xy 0. (2)充分性:由xy0 及xy, 得 x xy y xy,即 1
8、x 1 y. 综上所述, 1 x 1 y的充要条件是 xy0. 充分、必要条件的应用 例 3 已知p: 2x10,q:1mx 1m,且p是q的充分不必要条件,求实 数m的取值范围 解 因为p是q的充分不必要条件, 所以p?q但q? / p, 即 x| 2x10 是 x|1 mx1m 的真子集, 所以 1m 2, 1m10 或 1m 2, 1m 10, 解得m9. 所以实数m的取值范围为 m|m9 . 类题通法 应用充分条件和必要条件求参数的取值范围,主要是根据集合间的包含关系与充分条件 和必要条件的关系, 将问题转化为集合之间的关系,建立关于参数的不等式或不等式组求解, 注意数形结合思想的应用
9、 活学活用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 已知Px|a4xa4,Qx|x24x30,若xP是xQ的必要条件,求 实数a的取值范围 解:由题意知,Qx|1 x 3,Q?P, 所以 a41, a43, 解得 1a5. 故实数a的取值范围是 1,5 1.诠释充分条件与必要条件的判断 有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点,贯穿整个高中数学的始终,与 不等式、函数等重要知识点联系密切,下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法 1定义法 定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题“若p,则q”与“若q,则p”的判 断,根据两个命题是否正确,来确定p与q之间的充要关系其基本步骤是:
10、例 1 (四川高考 )设p: 实数x,y满足 (x1)2(y1)22,q: 实数x,y满足 yx 1, y1x, y1, 则p是q的( ) A必要不充分条件B充分不必要条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 p表示以点 (1,1)为圆心,2为半径的圆面 (含边界 ),如图所示q表示的平面区域为图 中阴影部分 (含边界 )由图可知,p是q的必要不充分条件故选A. 答案 A 活学活用 1 “sin 1 2”是“ cos 2 1 2”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析:选 A 由 cos 2 1 2
11、可得 sin 2 1 4,即 sin 1 2,故 sin 1 2 是 cos 2 1 2 的充分 不必要条件 2等价转化法 等价转化法就是在判断充要关系时,根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为 简单的两个条件之间的关系进行判断其基本步骤为: 例 2 已知x,y为两个正整数,p:x2 或y3,q:xy 5,则p是q的_ 条件 解析 綈p:x 2 且x3,綈q:xy5.可知綈p? 綈q,而綈q? / 綈p.所以綈q 是綈p的必要不充分条件,故p是q的必要不充分条件 答案 必要不充分 活学活用 2 “m3”是“ |m| 3”的 _条件 答案:必要不充分 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整
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