高中数学第一章1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第二课时分段函数与映射学案含解析新人教A版必修0.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第二课时分段函数与映射 分段函数 提出问题 某市空调公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 千米以内,票价2 元; (2)5 千米以上,每增加5 千米,票价增加1 元(不足 5 千米的按5 千米计算 ) 已知两个相邻的公共汽车站间相距1 千米,沿途 (包括起点站和终点站)有 11 个汽车站 问题 1:从起点站出发,公共汽车的行程x(千米 )与票价y(元)有函数关系吗? 提示:有函数关系 问题 2:若有函数关系,函数的表达式是什么? 提示:y 2,0x 5, 3, 5x10. 问题 3:x与y之间有何特点? 提示:x在不同区间内取值时,与y所对应的关
2、系不同 导入新知 如果函数yf(x),xA,根据自变量x在不同的取值范围内,函数有着不同的对应关 系,称这样的函数为分段函数 化解疑难 分段函数的三要点 (1)分段函数是一个函数,切不可把它看成是几个函数分段函数在书写时用大括号把 各段函数合并写成一个函数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围 (2)一个函数只有一个定义域,分段函数的定义域只能写成一个集合的形式,不能分开 写成几个集合的形式 (3)求分段函数的值域,应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合, 再求出它们的并集. 映射 提出问题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A x|x是三角形 ,Bx|x是圆 对
3、应关系:每一个三角形都对应它的外接圆 问题 1:从集合A到集合B能构成函数吗? 提示:不能 问题 2:从集合A到集合B的对应有什么特点? 提示:对于集合A中的任何一个三角形,在集合B中都有唯一的外接圆与之对应 导入新知 映射的定义 设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意 一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合 A到集合B的一个映射 化解疑难 映射与函数的区别与联系 名称 区别与联系 函数映射 区别 函数中的两个集合A和B必须是非空 数集 映射中的两个集合A和B可以是数 集,也可以是其他集合,只要非空即 可 联系函数
4、是一种特殊的映射;映射是函数概念的推广,但不一定是函数 分段函数求值问题 例 1 已知函数f(x) x 1,x 2, x22x, 2 2,不合题意,舍去 当 23 时,函数的解析式为yx2(x3) 再设抛物线对应的二次函数解析式为 ya(x2) 22(1 x3,a3. 映射的概念 例 3 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射: (1)AN *, BN *,对应关系 f:x|x3| ; (2)A平面内的圆 ,B 平面内的矩形 ,对应关系f:作圆的内接矩形; (3)A高一 (1)班的男生 ,BR,对应关系f:每个男生对应自己的身高; (4)Ax|0 x2,By|0 y6,对应关系f:xy 1
5、2x. 解 (1)A中元素 3 在对应关系f的作用下与3 的差的绝对值为0,而 0?B,故不是映 射 (2)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素 与之对应,故不是映射 (3)对A中任何一个元素,按照对应关系f,在B中都有唯一的元素与之对应,符合映射 定义,是映射 (4)因为A中每一个元素在f:xy 1 2x 作用下对应的元素构成的集合Cy|0 y 1 ?B,符合映射定义,是映射 类题通法 判断一个对应是否为映射的两个关键点 (1)对于A中的任意一个元素,在B中是否有元素对应; (2)B中的对应元素是否是唯一的 注意 “一对一”或“多对一”的对应都是映射 活学
6、活用 已知A1,2,3, 9,BR,从集合A到集合B的映射f:x x 2x1 . (1)与A中元素 1 相对应的B中的元素是什么? (2)与B中元素 4 9相对应的 A中的元素是什么? 解: (1)A中元素 1,即x1, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 代入对应关系得 x 2x1 1 211 1 3, 即与A中元素 1 相对应的B中的元素是 1 3. (2)B中元素 4 9,即 x 2x1 4 9 ,解得x4,因此与B中元素 4 9 相对应的A中的元素是4. 2.函数在实际中的应用 典例 (12分)如图所示,已知底角为45的等腰梯形ABCD, 底边BC长为 7 cm,腰长为22 cm
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