高中数学第一章1.2充分条件与必要条件教学案新人教A版选修7.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2 充分条件与必要条件 核心必知 1预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材P9P11的内容,回答下列问题 (1)判断教材P9上方的两个命题的真假,并思考: 当xa2b2成立时,一定有x2ab成立吗? 提示:一定有x2ab成立 当ab0 成立时,一定有a0 成立吗? 提示:不一定,也可能b0 (2)阅读教材P11“思考”的内容,并思考: 若p成立,一定有q成立吗? 提示:一定有q成立 若q成立,一定有p成立吗? 提示:一定有p成立 2归纳总结,核心必记 (1)充分条件与必要条件 命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题 推出关系p?
2、q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 (2)充要条件 一般地,如果既有p?q,又有q?p,就记作p?q此时,我们说p是q的充分必要条 件,简称充要条件显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件,即如果p? q,那么p与q互为充要条件 问题思考 (1)x3 是x5 的充分条件吗? 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 提示:不是因为x3x5,但x5?x3,因此x3 是x5 的必要条件 (2)如果p是q的充分条件,则p是唯一的吗? 提示:不唯一,如x3,x5,x10 等都是x0 的充分条件 (3)若“xA”是“xB”的充要条件,则A与
3、B的关系怎样? 提示:AB 课前反思 (1)充分条件的定义是: ; (2)必要条件的定义是: ; (3)充要条件的定义是: 思考 充分条件、必要条件、充要条件与命题“若p,则q” 、 “若q,则p”的真假性 有什么关系? 名师指津:当命题“若p,则q”为真命题时,p是q的充分条件,q是p的必要条件; 当命题“若q,则p”为真命题时,q是p的充分条件,p是q的必要条件;当上述两个命题 都是真命题时,p是q的充要条件 讲一讲 1判断下列各题中p是q的什么条件 (1)在ABC中,p:AB,q:BCAC; (2)p:x1,q:x21; (3)p: (a2)(a3)0,q:a3; (4)p:aB,则BC
4、AC;反之,若BCAC, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则AB.因此,p是q的充要条件 (2)由x1 可以推出x21;由x21,得x1,不一定有x1.因此,p是q的充 分不必要条件 (3)由(a2)(a3)0 可以推出a2 或a3,不一定有a3;由a 3 可以得出 (a2)(a 3)0.因此,p是q的必要不充分条件 (4)由于a1; 当 b0 时, a b0,b0, a bb.因此p是q的既不充分也不 必要条件 充分、必要条件的判断方法 判断p是q的什么条件,其实质是判断“若p,则q”及其逆命题“若q,则p”是真是 假,原命题为真而逆命题为假,p是q的充分不必要条件;原命题为假而逆
5、命题为真,则p 是q的必要不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则p是q的充要条件;原命题为假,逆 命题为假,则p是q的既不充分也不必要条件,同时要注意反证法的运用 练一练 1指出下列各组命题中,p是q的什么条件 (1)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形; (2)p: (x 1) 2(y2)20,q:(x 1)(y2)0. 解: (1)四边形的对角线相等四边形是平行四边形,四边形是平行四边形四边形 的对角线相等, p是q的既不充分也不必要条件 (2)(x1)2(y2)2 0?x1 且y2? (x 1) (y 2) 0, 而(x1)(y2) 0(x1)2(y2)20, p是q的充分不必
6、要条件 思考 如何证明“p是q的充要条件”? 名师指津:证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p,则q”和“若q,则p”都是 真命题 讲一讲 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2证明:a2b 0是直线ax2y30 和直线xby20 垂直的充要条件 尝试解答 (1)(充分性 )当b0 时,如果a 2b0,那么a0,此时直线ax2y30 平行于x轴,直线xby 20 平行于y轴,它们互相垂直 当b0 时,直线ax 2y3 0的斜率k1 a 2,直线 xby20 的斜率k2 1 b,若 a2b0,则k1k2 a 2 1 b 1,两直线垂直 (2)(必要性 )如果两条直线互相垂直且斜率都存在,
7、则k1k2 a 2 1 b 1,所以 a2b0. 若两直线中直线的斜率不存在,且互相垂直,则b0,且a0,所以a2b 0. 综上, “a2b0”是“直线ax2y30 和直线xby20 互相垂直”的充要条件 一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为“已知条件” ,p是 该步中要证明的“结论” ,即q?p;证明必要性时则是以p为“已知条件” ,q为该步中要证 明的“结论” ,即p?q. 练一练 2求证:关于x的方程ax 2 bxc0 有一个根为1 的充要条件是abc0. 证明: (充分性 ):因为abc0, 所以cab,代入方程ax 2 bxc 0中得ax 2 bxab0, 即
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