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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2 直观图 1.掌握斜二测画法的步骤.(重点 ) 2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.(重点、难点 ) 3.通过观察直观图,了解空间几何体的表示形式,进一步认识几何体的结构特征. 基础初探 教材整理 1 斜二测画法的规则 阅读教材 P7 P8倒数第 3行以上部分,完成下列问题. 1.在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时,它们分别对应x轴和y轴,两轴 交于点O,使xOy 45,它们确定的平面表示水平平面. 2.已知图形中平行于x轴或y轴的线段, 在直观图中分别画成平行于x轴和y轴的线 段. 3.已知图形中平行于x轴的线段,
2、在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段,长 度为原来的 1 2. 判断 (正确的打“” ,错误的打“”) (1)用斜二测画法画直观图时,在原图x轴上长为 4 的线段,在直观图中的长度为4.( ) (2)正方形的直观图仍是正方形.( ) (3)平行四边形的直观图仍是平行四边形.( ) (4)用斜二测画法画直观图时,平行于y轴的线段在直观图中长度减半.( ) 【答案】(1)(2)(3)(4) 教材整理 2 立体图形的直观图的画法 阅读教材 P8最后一段至P12“练习”以上部分,完成下列问题. 立体图形直观图画法的“四步曲” 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 在棱长为 4 cm 的正方体
3、ABCD-A1B1C1D1中,作直观图时,棱AA1在x轴上,棱AD在 y轴上,则在其直观图中, 对应棱AD的长为 _cm, 棱AA1的长为 _cm. 【解析】在x轴上的线段长度不变,故AA1 4 cm,在y轴上的线段变成原来的 一半,故AD 2 cm. 【答案】2 4 小组合作型 平面图形的直观图的画法 画出如图1-2-1 所示水平放置的等腰梯形的直观图. 图 1-2-1 【精彩点拨】按照斜二测画法画水平放置的平面图形的画法步骤画直观图. 【自主解答】(1)如图 (1)所示,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角 坐标系,再建立如图(2)所示的坐标系xOy,使xOy 45 . (2)
4、在图 (2)中,以O为中点在x轴上取ABAB. (3)在y轴上取OE 1 2 OE,以E为中点画CDx轴,并使CDCD. (4)连接BC,DA,去掉辅助线, 所得的四边形ABCD就是水平放置的 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 等腰梯形ABCD的直观图 .如图 (3)所示 . 1.画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置.顶点位置可以分 为两类: 一类是在轴上或在与轴平行的线段上,这类顶点比较容易确定;另一类是不在轴上 且不在与轴平行的线段上,这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段,将此点转到与轴平 行的线段上来确定. 2.要画好对应平面图形的直观图,首先应在原图形中
5、确定直角坐标系,然后在此基础上 画出水平放置的平面坐标系. 再练一题 1.用斜二测画法画如图1-2-2 所示边长为4 cm 的水平放置的正三角形的直观图. 【导学号: 39292005】 图 1-2-2 【解】(1)如图所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高线AO所在的直 线为y轴. (2)画对应的x轴、y轴,如图, 使xOy 45. 在x轴上截取OBOCOBOC2 cm,在y轴上取OA 1 2OA,连 接AB,AC,去掉辅助线则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图,如图 所示 . 空间几何体的直观图的画法 画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图. 【精彩点拨】本题所要画的是四
6、棱锥的直观图,是空间图形,所以要先画底面,先画 水平放置的正方形的直观图.再画侧棱,最后成图. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【自主解答】画法: (1)画轴 .画Ox轴,Oy轴,Oz轴,xOy 45(或 135),xOz 90,如图 . (2)画底面 .以O为中心在xOy平面内,画出正方形的直观图ABCD. (3)画顶点 .在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高. (4)成图 .顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四 棱锥的直观图 . 画空间几何体时,首先依照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图,然后根据平行于 z轴的线段在直观图中保持长
7、度不变,画出几何体的各侧面,所以画空间多面体的步骤可简 单总结为: 画轴 画底面 画侧棱 成图 再练一题 2.用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm 的长方体ABCDABCD的 直观图 . 【解】画法: (1)画轴 .如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使xOy45,xOz 90. (2)画底面 .以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN 4 cm;在y轴上取线段PQ, 使PQ 3 2 cm. 分别过点M和N作y轴的平行线, 过点P和Q作x轴的平行线, 设它们的交点分别为 A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. (3)画侧棱 .过A,B,C,D各点分
8、别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA,BB,CC,DD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (4)成图 .顺次连接A,B,C,D,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改 为虚线 ),就得到长方体的直观图. 探究共研型 直观图的还原及有关计算 探究 1 如图 1-2-3 是一梯形OABC的直观图OABC,OCh, 图 1-2-3 根据直观图你知道原图形是什么吗?它有什么特点? 【提示】原图形是一个直角梯形且高为2 h. 探究 2 已知ABC的直观图如图1-2-4 所示,你能求出原ABC的面积吗?你发现直 观图的画与原图形面积有何关系? 图 1-2-4 【提示
9、】由题意,易知在ABC中,ACAB,且AC6,AB3, SABC 1 263 9. 又SABC 1 2 3(3sin 45) 92 4 ,SABC 2 4 SABC. 如图 1-2-5 所示,一个水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图是一个底角 为 45,腰和上底长均为1 的等腰梯形,求原四边形的面积. 图 1-2-5 【精彩点拨】分别以AB,BC所在的直线为x轴,y轴,画出该直观图的 对应图形,然后求面积. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【自主解答】如图 (1)是四边形的直观图,取BC所在直线为x轴 .因为AB C 45, 所以取BA所在直线为y轴 . 过D作DEAB,DE交BC
10、于E,则BEAD 1. 又因为梯形为等腰梯形,所以EDC为等腰直角三角形,所以EC2. 再建立一个直角坐标系xOy,则O,B重合,如图 (2)所示,在x轴上截取线段BCB C 12,在y轴上截取线段BA2BA 2. 过A作ADBC,截取ADAD 1. 连接CD,则四边形ABCD就是四边形ABCD的平面图形. 四边形ABCD为直角梯形,上底AD1,下底BC12,高AB2,所以S梯形ABCD 1 2AB (AD BC) 1 2 2(112)22. 将直观图还原为平面图的关键是找与x轴,y轴平行的直线或线段,且平行于x 轴的线段还原时长度不变,平行于y轴的线段被还原时放大为直观图中相应线段长的2 倍
11、, 由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.由直观图中的已知量来计算原图形中的量,应依 据线段的变化规律分别在两个图中计算. 再练一题 3.已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形, 那么原ABC的面积 为( ) A. 3 2 a 2 B. 3 4 a 2 C. 6 2 a2D.6a 2 【解析】如图 (1)为直观图, 图(2)为实际图形 .取BC所在直线为x轴, 过BC 中点O与Ox成 45的直线为y轴,过A点作ANOx,交y轴于N 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 点,过A点作AMOy,交x轴于M点 . 在直角三角形AOM中, OA 3 2 a,AMO 45,AM 6 2 a
12、, 则AM2AM6a, SABC 1 2 a6a 6 2 a 2. 【答案】C 1.用斜二测画法得到: 相等的线段和角在直观图中仍然相等; 正方形的直观图是矩形; 等腰梯形的直观图仍然是等腰梯形; 菱形的直观图仍然是菱形. 上述结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】根据斜二测画法通过举反例可知,上述结论全部错误. 【答案】A 2.如图 1-2-6 所示为一个平面图形的直观图,则原四边形ABCD为( ) 图 1-2-6 A.平行四边形B.梯形 C.菱形D.矩形 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【解析】因为DAB 45,由斜二测画法规则知DAB90,又因四边形
13、ABCD为平行四边形,所以原四边形ABCD为矩形 . 【答案】D 3.水平放置的ABC的斜二测直观图如图1-2-7 所示,已知AC 3,BC 2, 则AB边上的中线的实际长度为_. 图 1-2-7 【解析】还原成原图是以3,4为直角边的直角三角形,而斜边上的中线等于斜边的一 半. 【答案】2.5 4.如图 1-2-8 为ABO水平放置的直观图,其中ODBD 2AD,且B Dy轴由图判断原三角形中AB,OB,BD,OD由小到大的顺序是_. 图 1-2-8 【解析】将直观图还原为平面图形如下, 由三角形的有关性质可知,OBABBDOD. 【答案】ODBDABOB 5.已知一等腰ABC底边ABa,高为 3 2 a,求用斜二测画法得到的直观图的面积. 【导学号: 39292006】 【解】如图 (1)(2)所示的是实际图形和直观图, 由图可知,ABABa,OC 1 2OC 3 4 a, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 在图 (2)中作CDAB于D,则CD 2 2 OC 6 8 a, 所以SABC 1 2A BCD 1 2 a 6 8 a 6 16 a 2.
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