高中数学第一章1.2独立性检验的基本思想及其初步应用学案含解析新人教A版选修7.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 12 独立性检验的基本思想及其初步应用 独立性检验的有关概念 提出问题 问题 1:观察教材第10页的探究,其中的频数表叫什么? 提示:列联表 问题 2:由表中数据,你能说吸烟对患肺癌有影响吗? 提示:能 问题 3:如何用数字分析此类问题? 提示:利用随机变量K 2 进行分析 导入新知 1分类变量 变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量 222 列联表 假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为x1,x2 和y1,y2,其样本频数列联表 (也称 22 列联表 )为: y1y2总计 x1a b ab x2c d cd 总计ac
2、bd abcd 3等高条形图 将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来,其中两列的数据分别对应不同的 颜色,这就是等高条形图 4K 2 统计量 为 了 使不 同样 本容 量的数据 有统 一的 评判 标准,我 们构 造一 个随 机变量K 2 nadbc 2 abcdacbd ,其中nabcd为样本容量 5独立性检验 利用随机变量K 2 来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法,称为 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 两个分类变量独立性检验 化解疑难 反证法原理与独立性检验原理的比较 反证法原理在假设H0下,如果推出一个矛盾,就证明了H0不成立 独立性检验原理在假设H0
3、下,如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件,就推断 H0不成立,且该推断犯错误的概率不超过小概率. 独立性检验的步骤 提出问题 问题:利用随机变量K 2 进行独立性检验需要几步? 提示:三步 导入新知 独立性检验的具体做法 (1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界,然 后查右表确定临界值k0. P(K2k0)0.500.400.250.150.10 k00.4550.7081.3232.0722.706 P(K2k0)0.050.0250.0100.0050.001 k03.8415.0246.6357.87910.828 (2)利用公式K 2 nadbc 2
4、abcdacbd ,计算随机变量K 2 的观测值k. (3)如果kk0,就推断“X与Y有关系”,这种推断犯错误的概率不超过;否则,就认 为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”,或者在样本数据中没有发 现足够证据支持结论“X与Y有关系” 化解疑难 详析独立性检验 (1)通过列联表或观察等高条形图判断两个分类变量之间有关系,属于直观判断,不足 之处是不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率, 而独立性检验可以弥补这个不 足 (2)列联表中的数据是样本数据,它只是总体的代表,具有随机性,因此,需要用独立 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 性检验的方法确认所得结论在多大程
5、度上适用于总体 列联表和等高条形图的应用 例 1 某学校对高三学生作了一项调查,发现:在平时的模拟考试中,性格内向的学 生 426人中有 332人在考前心情紧张, 性格外向的学生594人中有 213人在考前心情紧张 作 出等高条形图,利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系 解 作列联表如下: 性格内向性格外向总计 考前心情紧张332213545 考前心情不紧张94381475 总计4265941 020 相应的等高条形图如图所示: 图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例从图中可以看出 考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高,可
6、以认为考前紧张与性格类型有关 类题通法 细解等高条形图 (1)绘制等高条形图时,列联表的行对应的是高度,两行的数据不相等,但对应的条形 图的高度是相同的;两列的数据对应不同的颜色 (2)等高条形图中有两个高度相同的矩形,每一个矩形中都有两种颜色,观察下方颜色 区域的高度, 如果两个高度相差比较明显即 a ab和 c cd相差很大, 就判断两个分类变量之间 有关系 活学活用 为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系,调查了一千多名青少年及其家长,数据如下: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 父母吸烟父母不吸烟总计 子女吸烟23783320 子女不吸烟6785221 200 总计9156051 5
7、20 利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响 解:等高条形图如下: 由图形观察可以看出子女吸烟者中父母吸烟的比例要比子女不吸烟者中父母吸烟的比 例高,因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”. 独立性检验的原理 例 2 (辽宁高考节选)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进 行了抽样调查,调查结果如下表所示: 喜欢甜品不喜欢甜品合计 南方学生602080 北方学生101020 合计7030100 根据表中数据, 问:是否有 95%的把握认为 “南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习 惯方面有差异”? 解 将 2 2列联表中的数据代入公式计算,得k 10060
8、102010 2 70 308020 100 21 4.762. 由于 4.7623.841,所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习 惯方面有差异” 类题通法 解决独立性检验问题的思路 解决一般的独立性检验问题,首先由题目所给的22 列联表确定a,b,c,d,n的值, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 然后代入随机变量K 2 的计算公式求出观测值k,将k与临界值k0进行对比,确定有多大的 把握认为“两个分类变量有关系” 活学活用 某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A,B进行比较研究,将志愿者分为两组,分别采 用方案A和方案B进行治疗,统计结果如下: 有效无效总计 使
9、用方案A组96120 使用方案B组72 总计32 (1)完成上述列联表; (2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关? 解: (1)列联表如下: 有效无效总计 使用方案A组9624120 使用方案B组72880 总计16832200 (2)K 2 2009682472 2 1208016832 3.5713.841, 所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关 1.独立性检验与统计的综合应用 典例 (12分 )某工厂有工人1 000名, 其中 250名工人参加过短期培训(称为 A 类工人 ), 另外 750名工人参加过长期培训(
10、称为 B 类工人 ) 现用分层抽样的方法(按 A 类、B 类分两层 ) 从该工厂的工人中抽取100 名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件 数),结果如下表 表 1:A 类工人生产能力的频数分布表 生产能力分组110,120)120,130)130,140)140,150) 人数8x 32 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 表 2:B 类工人生产能力的频数分布表 生产能力分组110,120)120,130)130,140)140,150) 人数6y 2718 (1)确定x,y的值; (2)完成下面2 2 列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.001 的前提下认为工
11、人 的生产能力与工人的类别有关系. 生产能力分组 工人类别 110,130)130,150)总计 A 类工人 B 类工人 总计 附:K 2 nadbc 2 abcdacbd , P(K 2 k0)0.0500.0100.001 k03.8416.63510.828 解题流程 规范解答 (1)从该工厂的工人中抽取100名工人, 且该工厂中有250名 A 类工人, 750名 B 类工 人, 要从 A 类工人中抽取25 名,从 B 类工人中抽取75 名, (2 分) x2583212,y 756271824.(4分 ) (2)根据所给的数据可以完成列联表,如下表所示: 生产能力分组110,130)1
12、30,150)总计 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 工人类别 A 类工人20525 B 类工人304575 总计5050100 由列联表中的数据,得K 2 的观测值为 k 1002045 530 2 25755050 1210.828.(10分) 因此,在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为工人的生产能力与工人的类别有关 系 (12分) 名师批注 要确定x,y的值,应先确定A 类工人及B 类工人中应各抽取多少人,此处易误认为x 25,y75,从而导致解题错误 6 分 此处易犯错误有两点:计算失误;将公式中的数据搞错 活学活用 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况
13、,随机抽取了100名观众进 行调查,其中女性有55 名下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频 率分布直方图: 将日均收看该体育节目时间不低于40 分的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有 10 名女性 根据已知条件完成下面的22 列联表, 据此资料, 你是否认为 “体育迷” 与性别有关? 非体育迷体育迷总计 男 女 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 总计 附: P(K 2k 0)0.050.01 k03.8416.635 解:由频率分布直方图可知,在抽取的100名观众中,“体育迷”有25 名, “非体育迷” 有 75 名,又已知100 名观众中女性有55 名,女“体育
14、迷”有10 名,所以男性有45 名,男 “体育迷”有15 名,从而可完成22 列联表,如下表: 非体育迷体育迷总计 男301545 女451055 总计7525100 由 22 列联表中的数据,得K 2 的观测值为 k 1003010 1545 2 455575 25 3.030. 因为 3.0303.841,所以没有充分的证据表明“体育迷”与性别有关 随堂即时演练 1下面是一个22 列联表: y1y2总计 x1a 2173 x222527 总计b 46 则表中a,b处的值分别为( ) A 94,96 B52,50 C52,54 D 54,52 解析:选 C 由 a2173, a2b, 得 a
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