高中数学第一章1.3.2函数的极值与导数学案含解析新人教A版选修206.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 13.2 函数的极值与导数 函数的极值 已知yf(x)的图象 (如下图 ) 问题 1:函数yf(x)在b,c,d,e点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? 提示:在b,d点的函数值是这两个点附近的函数值中最大的,而在c,e点的函数值是 这两个点附近的函数值中最小的 问题 2:yf(x)在b,c,d,e点的导数值是多少? 提示:f (b)f(c)f(d)f(e) 0. 问题 3:在b,c,d,e点附近,yf(x)的导数的符号有什么规律? 提示:在b,d点附近的导数的符号是左正右负,而在c,e点附近的导数的符号是左负 右正 极值点与极值 (1)极小值
2、点与极小值: 若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小,f(a) 0,而且在点xa附近的左侧f(x)0,就把点a叫做函数yf(x)的极小值 点,f(a)叫做函数yf(x)的极小值 (2)极大值点与极大值: 若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大,f(b) 0,而且在点xb附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值 导数与极值的关系 (1)根据极值的定义可知,对于一个可导函数,如果函数yf(x)在x0处取得极值,则它 在该极值点x0处的导数值等于0, 但导数值为0 的点不一定是函数的极值点例如
3、,函数f(x) x3可导,且在x0 处满足f(0)0,但由于当x0 和x0 时均有f(x)0,所以x0 不是函数f(x)x3的极值点 (2)函数yf(x)在点x0取得极值的充要条件是f(x0)0,且f(x)在x0左、右两侧的符 号不同 求函数的极值 求下列函数的极值: (1)f(x)x3 12x; (2)y x32 2x1 2. (1)函数的定义域为R, f(x)3x2123(x2)(x 2), 令f (x)0, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 得x 2 或x2. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (, 2)2(2,2)2(2, ) f(x)00 f(x)1616
4、 从表中可以看出,当x 2 时,函数有极大值,且f(2)16.当x2 时,函数有极小 值,且f(2) 16. (2)函数的定义域为(, 1) (1, ),且y x 2 2 x1 2x1 3 .令y 0,得x1 1,x22, 当x变化时,y,y的变化情况如下表: x (, 1)1(1,1)(1,2)2(2, ) y00 y 3 8 3 故当x 1 时,y有极大值 3 8. 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间,求导数f(x); (2)求f(x)的拐点,即求方程f(x)0 的根; (3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左、右两侧单调性的变化情况求极 值 求下列
5、函数的极值: (1)f(x)x3 3x29x5; (2)f(x) ln x x . 解: (1)函数f(x)x33x29x5 的定义域为R,且f(x)3x2 6x9.令f(x)0,得 x1 1,x23. 当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表: x (, 1)1(1,3)3(3, ) f(x)00 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 f(x)1022 由表可知,x 1 是函数f(x)的极大值点,极大值为f(1)10;x3 是函数f(x)的极 小值点,极小值为f(3) 22. (2)函数y ln x x 的定义域为 (0, ), y 1ln x x2 .令y 0,即 1ln x x
6、2 0,得xe. 当x变化时,y,y的变化情况如下表: x (0,e)e(e, ) y0 y 1 e 由表可知,当xe时,函数的极大值是 1 e. 已知函数的极值求参数 已知f(x)ax 3bx2 cx(a0)在x 1 处取得极值,且f(1) 1. (1)试求常数a,b,c的值; (2)试判断x 1 是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由 f(x) 3ax 22bx c. (1)法一:x 1 是函数的极值点, x 1是方程 3ax 22bx c 0的两根 由根与系数的关系知 2b 3a 0, c 3a 1, 又f(1) 1,abc 1. 由解得a 1 2, b0,c 3 2. 法二:由f(1
7、)f(1)0, 得 3a2bc0, 3a2bc 0. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又f(1) 1,abc 1. 由解得a 1 2, b0,c 3 2. (2)f(x) 1 2 x3 3 2x, f(x) 3 2x 2 3 2 3 2(x1)(x1) 当x 1 或x1 时,f(x)0; 当 1x1 时,f(x)0. 函数f(x)在(, 1)和(1, )上是增函数, 在(1,1)上是减函数 因此当x 1 时函数取得极大值,x 1 为极大值点; 当x1 时函数取得极小值,x 1为极小值点 由函数的极值确定参数的方法及注意事项 (1)已知一个函数,可以用单调性研究它的极值反过来,已知函数
8、的极值,可以确定 函数解析式中的参数,解这类问题, 通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立 关于参数的方程,从而求出参数的值 (2)需注意的是,可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要 条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件 已知函数f(x)x3bx22cx的导函数的图象关于直线x2 对称 (1)求b的值; (2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围 解: (1)f (x)3x22bx2c, 因为函数f(x)的图象关于直线x2 对称, 所以 2b 6 2,即b6. (2)由(1)知,f(x)x36x22cx, f(x)3x212x2c3
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