高中数学第一章1.3.3函数的最大小值与导数学案含解析新人教A版选修205.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 13.3 函数的最大 (小)值与导数 函数的最大 (小)值 下图为yf(x),x的图象 问题 1:观察上函数yf(x)的图象,试找出它的极大值、极小值 提示:f(x1),f(x3)为函数的极大值,f(x2),f(x4)为函数的极小值 问题 2:结合图象判断,函数yf(x)在区间上是否存在最大值和最小值?若存在,分别 为多少? 提示:存在f(x)minf(a),f(x)maxf(x3) 问题 3:函数yf(x)在上的最大 (小)值一定是其极值吗? 提示:不一定,也可能是区间端点的函数值 问题 4:怎样确定函数f(x)在上的最小值和最大值? 提示:比较极
2、值与区间端点处的函数值,最大(小)的是最大 (小)值 1函数yf(x)在区间上的最值 一般地, 如果在区间上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与 最小值 2函数最值的求法 求函数yf(x)在闭区间上的最值的步骤如下: (1)求函数yf(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值 极值与最值的区别与联系 (1)区别 函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较;函数的最值是函数在整个区间上函数 值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者 函数的极值可以有多
3、个,但最大(小)值只能有一个,极值只能在区间内取得,最值可 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 以在区间端点处取得 (2)联系 如果在区间 (a,b)上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么 该极值点就是最值点,这里区间(a,b)可以是无穷区间 求函数的最值 求下列各函数的最值: (1)f(x)x33x,x; (2)f(x)x2 54 x (x 0) (1)f(x)3 3x23(1x)(1x) 令f (x)0,得x1 或x 1. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x 3 (3, 1) 1(1,1)1(1,3)3 f(x)00 f(x)0极小值极大值
4、18 所以x1 和x 1 是函数在上的两个极值点,且f(1)2,f(1) 2. 又因为f(x)在区间端点处的取值为f(3) 0,f(3) 18, 所以f(x)max2,f(x)min 18. (2)f(x)2x 54 x2,令 f(x)0,得x 3. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (, 3)3(3,0) f (x)0 f(x)极小值 所以当x 3 时,f(x)取得极小值,也就是最小值, 故f(x)的最小值为f( 3)27,无最大值 利用导数求函数最值的方法 (1)若函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,在区间(a,b)内只有一个导数值为0 的 积一时之跬步臻千里之遥
5、程 马鸣风萧萧整理 点,且在这一点处取得极值,则该点一定是函数的最值点 (2)求一个函数在闭区间上的最值时,一般是找出该区间上导数值为0 的点,无须判断出 是极大值点还是极小值点,只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较,其中最 大的就是函数的最大值,最小的就是函数的最小值 求函数f(x)ln(1x) 1 4x 2 在区间上的最值 解:f(x) 1 1x 1 2x, 令f (x)0,即 1 1x 1 2x0, 得x 2 或x1. 又x 10,x 1,x 2舍去 f(0)0,f(1)ln 2 1 4, f(2)ln 31, 该函数在区间上的最大值为ln 2 1 4 ,最小值为0. 由函数
6、的最值确定参数的值 若f(x)x33x29x1在区间上的最大值为28,求k的取值范围 由f(x)x33x29x1, 得f (x)3x26x 9. 令f (x)0,得x1 3,x21. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (, 3)3(3,1)1(1, ) f(x)00 f(x)284 当x 3 时,取极大值28; 当x1 时,取极小值4.而f(2)31, m的取值范围为 (1, ) 不等式恒成立问题的转化技巧 (1)af(x)(或af(x)恒成立 ?af(x)max(或af(x)min); (2)af(x)(或af(x)恒有解 ?af(x)min(或af(x)max); (3
7、)f(x)g(x)恒成立 ?F(x)min0(其中F(x)f(x)g(x); (4)f(x)g(x)恒有解 ?F(x)max0(其中F(x)f(x)g(x) 已知函数f(x)2x33ax 23bx 8c 在x1 及x2 时取得极值 (1)求a,b的值; (2)若对于任意的x,都有f(x)c2成立,求c的取值范围 解: (1)f (x)6x26ax3b, 因为函数f(x)在x1 及x2 时取得极值, 所以f(1)0,f(2) 0, 即 66a3b 0, 2412a3b 0, 解得 a 3, b4. (2)由(1)可知,f(x)2x39x212x8c, f(x)6x218x126(x1)(x2)
8、当x(0,1)时,f (x)0; 当x(1,2)时,f (x)0; 当x(2,3)时,f (x)0. 所以,当x1 时,f(x)取极大值f(1)58c. 又因为f(0)8c,f(3)9 8c, 所以当x时,f(x)的最大值为f(3) 98c. 因为对于任意的x,有f(x)c2恒成立, 所以 98cc2,解得c 1 或c9. 因此c的取值范围为(, 1)(9, ). 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.求解与函数最值有关的综合问题 (12 分)已知函数f(x)ax 4ln xbx4c(x0)在x1 处取得极值3c,其中a,b,c 为常数若对任意x0,不等式f(x) 2c2恒成立,求c的
9、取值范围 已知函数f(x)xa x(a 0,且a1) (1)当a3 时,求曲线f(x)在点P(1,f(1)处的切线方程; (2)若函数f(x)存在极大值g(a),求g(a)的最小值 解: (1)当a3 时,f(x)x 3x, f(x) 13xln 3, f(1) 13ln 3.又f(1) 2, 所求切线方程为y2(13ln 3)(x1), 即y (13ln 3)x3 3ln 3. (2)f(x)1a xln a, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当 00,ln a0, f(x)在 R 上为增函数,f(x)无极大值 当a1 时,设方程f(x)0 的根为t,得a t 1 ln a , 即
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