高中数学第一章1.3全称量词与存在量词学案苏教版选修16.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.3全称量词与存在量词 13.1 量词 全称量词与全称命题 观察下列命题: (1)对任意实数x,都有x5. (2)对任意一个x(xZ),3x1 是整数 问题:上述两个命题各表示什么意思? 提示: (1)表示对每一个实数x,必定有x5; (2)对所有的整数x,3x1 必定是整数 全称量词和全称命题 全称量词所有、任意、每一个、任给 符号表示?x表示“对任意x” 全称命题含有全称量词的命题 一般形式?xM,p(x) 存在量词和存在性命题 观察下列语句: (1)存在一个实数x,使 3x17. (2)至少有一个xZ,使x能被 3 和 4 整除 问题:上述两
2、个命题各表述什么意思? 提示: (1)表示有一个实数x,满足 3x 17; (2)存在一个整数Z,满足能被3 和 4 整除 存在量词和存在性命题 存在量词有一个、有些、存在一个 符号表示“?x”表示“存在x” 存在性命题含有存在量词的命题 一般形式?xM,p(x) 1 判断命题是全称命题还是存在性命题,主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词, 有些全称命题虽然不含全称量词,但可以根据命题涉及的意义去判断 2要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反 例说明命题不成立,则该全称命题是假命题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3要确定一个存在性命题是真命题
3、,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推 理得到命题对所有的元素都不成立,则该存在性命题是假命题 对应学生用书 P12 全称命题、存在性命题的判断 例 1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题 (1)若a0 且a1,则对任意x,ax0; (2)对任意实数x1,x2,若x1sin x; ?xR,3x0; ?xR,sin xcos x2; ?xR,lg x0. 其中为真命题的是_(填入所有真命题的序号) 解析:中,由于x 0, 2 ,所以 sin x0,00,所以是真命题;中,函数y 3 x, xR 的值域是 (0, ),所以 是真命题;中,函数ysin xcos x2 sinx 4 ,xR
4、 的值域是 2,2,又 2? 2,2 ,所以是假命题;中,由于lg 10,所以是真命题 答案: 5判断下列全称命题的真假 (1)所有的素数是奇数; (2)?xR,x211; (3)对每一个无理数x,x2也是无理数 解: (1)2 是素数,但不是奇数所以,全称命题“所有的素数是奇数”是假命题 (2)?xR?x20?x2 11.所以,全称命题“?xR,x211”是真命题 (3)2是无理数,但(2)22 是有理数所以, “对每一个无理数x,x2也是无理数”是假 命题 6分别判断下列存在性命题的真假: (1)有些向量的坐标等于其起点的坐标; (2)存在x R,使 sin xcos x 2. 解: (1
5、)真命题设A(x1,y1),B(x2,y2), AB uuu r (x2x1,y2y1),由 x2x1x1, y2y1y1, 得 x2 2x1, y2 2y1. 如A(1,3),B(2,6),AB uuu r (x2x1,y2y1)(1,3),满足题意 (2)假命题由于sin xcos x2 2 2 sin x 2 2 cos x2sin x 4 的最大值为2,所以 不存在实数x,使 sin xcos x 2. 1判定命题是全称命题还是存在性命题,主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在 量词;另外,有些全称命题并不含有全称量词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断 2要判定全称命题“?xM,
6、p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x) 成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题 3要判定存在性命题“?xM,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使 p(x0)成立即可; 如果在集合M中, 使p(x)成立的元素x不存在, 那么这个存在性命题是假命题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对应课时跟踪训练(五 ) 1下列命题: 有的质数是偶数; 与同一平面所成的角相等的两条直线平行; 有的三角形的三个内角成等差数列; 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线, 其中是全称命题的是_,是存在性命题的是_(只填序号 )
7、解析:根据所含量词可知是全称命题,是存在性命题 答案: 2下列命题中的假命题是_ ?xR,2x 10; ?xN *,(x1)20; ?xR,lg x0”为真命题,则实数a的取值范围是 _ 解析:当a 0时,不等式为10, 对?xR,10 成立 当a0 时,若 ?xR,ax 22ax 10, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则 a0, 4a 24a 0); (2)对任意非零实数x1,x2,若x1x2,则 1 x1 1 x2; (3)?R,使得 sin( 3 )sin ; (4)?xR,使得x2 10. 解: (1)(2)是全称命题,(3)(4)是存在性命题 (1)zx0(z0)恒成立,
8、 命题 (1)是真命题 (2)存在x1 1,x21,x1x2,但 1 x1 1 2; (2)?,使 cos()cos cos ; (3)?x,yN,都有 (xy)N; (4)?x,yZ,使2xy 3. 解: (1)法一:当xR 时,x2x1x 1 2 2 3 4 3 4 1 2,所以该命题是真命题 法二:x2x1 1 2? x 2 x 1 20,由于 14 1 2 1 1 2的解 集是 R,所以该命题是真命题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)当 4, 2时,cos( ) cos 4 2 cos 4 cos 4 2 2 ,cos cos cos 4 cos 2 2 2 0 2 2
9、 ,此时 cos ()cos cos ,所以该命题是真命题 (3)当x2,y4 时,xy 2? N,所以该命题是假命题 (4)当x0,y3 时,2xy 3,即 ?x,yZ,使2xy3,所以该命题是真命题 8(1)对于任意实数x,不等式sin xcos xm恒成立,求实数m的取值范围; (2)存在实数x,不等式sin xcos xm有解,求实数m的取值范围 解: (1)令y sin xcos x,xR. ysin xcos x2sin(x 4) 2. 又 ?xR,sin xcos xm恒成立 只要mm有解 只要m0,故 (1)是假命题 命题的否定:存在xR,x3x210. (2)10能被 5 整
10、除, 10 是偶数,故 (2)是假命题 命题的否定:存在一个能被5 整除的整数不是奇数 (3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数,故(3)是真命题 命题的否定:存在xQ, 1 3x 2 1 2 x1 不是有理数 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一点通 (1)全称命题的否定: 全称命题的否定是一个存在性命题,给出全称命题的否定时既要否定全称量词,又要否 定性质,所以找出全称量词,明确命题所提供的性质是解题的关键 (2)常见词语的否定: 原词否定词原词否定词原词否定词 等于不等于是不是至少一个一个也没有 大于不大于都是不都是任意某个 小于不小于至多一个至少两个所有的某些 1指出下列命题
11、的形式,写出下列命题的否定: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)?xR,x22x10. 解: (1)?xM,p(x),否定:存在一个矩形不是平行四边形,?xM,綈p(x) (2)?xM,p(x),否定:存在一个素数不是奇数, ?xM,綈p(x) (3)?xM,p(x),否定: ?xR,x22x10, ?xM,綈p(x) 2判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定: (1)三角形的内角和为180; (2)每个二次函数的图像都开口向下; (3)任何一个平行四边形的对边都平行; (4)负数的平方是正数 解: (1)是全称命题且为真命题 命题的否定:三角形的内角和不全
12、为180, 即存在一个三角形且它的内角和不等于180. (2)是全称命题且为假命题 命题的否定:存在一个二次函数的图像开口不向下 (3)是全称命题且为真命题 命题的否定:存在一个平行四边形的对边不都平行 (4)是全称命题且为真命题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 命题的否定:某个负数的平方不是正数. 存在性命题的否定 例 2 写出下列存在性命题的否定,并判断其否定的真假: (1)有些实数的绝对值是正数; (2)某些平行四边形是菱形; (3)?x0,y0Z,使得2x0y03. 思路点拨 它们的否定是全称命题,解题时既要改变量词,也要否定结论,最后判断其 真假 精解详析 (1)命题的否定
13、是: “所有实数的绝对值都不是正数” 由于 | 2| 2,因此命题的否定为假命题 (2)命题的否定是: “每一个平行四边形都不是菱形”由于菱形是平行四边形,因此命题 的否定是假命题 (3)命题的否定是: “?x,yZ,2xy3” 因为当x0,y3 时,2xy3,因此命题的否定是假命题 一点通 (1)存在性命题的否定是全称命题,要否定存在性命题“?xM,p(x)成立” ,需要验证对 M中的每一个x,均有p(x)不成立,也就是说“?xM,綈p(x)成立” (2)要证明存在性命题是真命题,只需要找到使p(x)成立的条件即可 (3)只有“存在”一词是量词时,它的否定才是“任意”,当“存在”一词不是量词
14、时,它 的否定是“不存在” 例如:三角形存在外接圆这个命题是全称命题,量词“所有的”被省 略了,所以,这个命题的否定是:有些三角形不存在外接圆 3写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:?x0R,x2 010, a0 满足条件 当a0 时,若方程ax 22x 10 至少有一个正实数根 则44a0,则a 1. 又因x0 时,ax 22x1 10”的否定是 _ 解析:全称命题的否定是存在性命题 答案: ?xR,x2x3 0 4命题“所有能被2 整除的整数都是偶数”的否定是_ 解析:此命题是一个全称命题,全称命题的否定是存在性命题故该命题的否定是:“存 在能被 2 整除的整数不是偶数” 答案:
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