高中数学第一章1.3导数在研究函数中的作用1.3.1单调性教学案苏教版选修23.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.3.1 单 调 性 对应学生用书P13 已知函数y1x,y2x2,y3 1 x. 问题 1:试作出上述三个函数的图象 提示:图象为 问题 2:试根据上述图象说明函数的单调性 提示:函数y1x在 R 上为增函数, y2x2在(, 0)上为减函数,在(0, )上为增函数, y3 1 x在(, 0),(0, )上为减函数 问题 3:判断它们导函数的正负 提示:y1 10,y2 2x,当x0 时,y20,当x0 时,f(x)为增函数,当f(x)0f(x)为该区间上的增函数 f(x)0(f(x)0. 对应学生用书P14 判断 (或证明 )函数的单调性 例
2、1 讨论下列函数的单调性 (1)yax 51(a 0); (2)ya x a x(a 0 且a1) 思路点拨 先求出函数的导数,然后通过导数的符号来讨论函数的单调性 精解详析 (1)y 5ax 4 且a0, y 0在 R 上恒成立, yax 51 在 R 上为增函数 (2)ya xln aaxln a (x) (axa x)ln a , 当a1 时, ln a0,axa x0, y0 在 R 上恒成立, yaxa x 在 R 上为增函数 当 00, y0 , 又f (x)(ln xx) 1 x1, 当x0 时,f(x)10 , 故y ln xx在其定义域内为增函数 3判断yax31(aR)在(
3、, )上的单调性 解:因为y 3ax 2,又 x20. (1)当a0 时,y 0,函数在R 上是增函数; (2)当a0,f (x)0,解得x1 或x0,即 2 3x21 x 0, 解得 3 3 3 3 . 又x0,x 3 3 . 令f (x)0, 00 或f 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (x)0 得x2x20,解得x2, 又x0,所以函数f(x)的单调递增区间为(2, ) 答案: (2, ) 5函数f(x)xln x的单调递增区间为_ 解析:f(x)xln x(x0),f(x)ln x 1, 令f (x)0,则 ln x10,即 ln x 1. x 1 e, 即函数f(x)xln
4、 x的单调递增区间为 1 e, . 答案: 1 e, 6已知函数f(x) ln xk e x (k为常数, e2.718 28 是自然对数的底数),曲线yf(x)在点 (1,f(1)处的切线与x轴平行 (1)求k的值; (2)求f(x)的单调区间 解: (1)由f(x) ln xk ex , 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 得f (x) 1kxxln x xe x ,x(0, ), 由于曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线与x轴平行, 所以f(1)0,因此k1. (2)由(1)得f(x) 1 xe x(1xxln x),x(0, ), 令h(x)1xxln x,x(0, ), 当x
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