高中数学第一章1.3导数在研究函数中的作用1.3.2极大值与极小值教学案苏教版选修2.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 13.2 极大值与极小值 对应学生用书P16 极值 已知yf(x)的图象 (如图 ) 问题 1:当xa时,函数值f(a)有何特点? 提示:在xa的附近,f(a)最小,f(a)并不一定是yf(x)的最小值 问题 2:当xb时,函数值f(b)有何特点? 提示:在xb的附近,f(b)最大,f(b)并不一定是yf(x)的最大值 1观察下图中的函数图象,发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下 降” (函数由单调递增变为单调递减),这时在点P附近,点P的位置最高,亦即f(x1)比它附 近点的函数值都要大,我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值 2
2、类似地,上图中f(x2)为函数的一个极小值 3函数的极大值、极小值统称为函数的极值 极值与导数的关系 观察图 ( ) 问题 1:试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化? 提示:左侧导数大于0,右侧导数小于0. 问题 2:试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化? 提示:左侧导数小于0,右侧导数大于0. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1极大值与导数之间的关系如下表: x x1左侧x1x1右侧 f(x)f(x)0f (x)0f(x)0 f(x)减极小值f(x2)增 1极值是一个局部概念,它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小,
3、 并不意味着它在整个定义域内是最大或最小 2函数的极值并不惟一(如图所示 ) 3极大值和极小值之间没有确定的大小关系,如图所示,f(x1)是极大值,f(x4)是极小值, 而f(x4)f(x1) 对应学生用书P17 求函数的极值 例 1 求下列函数的极值: (1)f(x)x3 3x29x5; (2)f(x) ln x x . 思路点拨 按求函数极值的步骤求解,要注意函数的定义域 精解详析 (1)函数f(x)x3 3x29x5 的定义域为R,且f(x)3x26x9.解方程 3x26x90,得x1 1,x23. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表
4、: x (, 1)1(1,3)3(3, ) f(x)00 f(x)极大值 10极小值 22 因此,函数f(x)的极大值为f(1)10; 极小值为f(3) 22. (2)函数f(x) ln x x 的定义域为 (0, ), 且f (x) 1 ln x x2 . 令f (x)0,解得xe. 当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表: x (0,e)e (e, ) f(x)0 f(x)极大值 1 e 因此函数f(x)的极大值为f(e) 1 e,没有极小值 一点通 (1)求可导函数极值的步骤: 求导数f(x); 求方程f(x)0 的根; 检查f(x)的值在方程f (x)0 的根左右的符号,如果左
5、正右负,那么f(x)在这个根 处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值 (2)注意事项: 不要忽视函数的定义域; 要正确地列出表格,不要遗漏区间和分界点 1函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间 (a,b)内有 _个极小值 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:由图可知,在区间(a,x1),(x2,0),(0,x3)内f(x)0; 在区间 (x1,x2),(x3,b)内f(x)0; 当x(0,2)时,f (x)0. 所以f(x)的单调增区间是(, 0)和(2, ),减区间是 (0,2);极大值为
6、f(0),极小值 为f(2) 答案: 3设f(x)aln x 1 2x 3 2x 1,其中 aR,曲线yf(x)在点 (1,f(1)处的切线垂直于y 轴 (1)求a的值; (2)求函数f(x)的极值 解: (1)因f(x)aln x 1 2x 3 2x1, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故f (x) a x 1 2x2 3 2. 由于曲线yf(x)在点 (1,f(1)处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f(1)0, 从而a 1 2 3 20, 解得a 1. (2)由(1)知f(x) lnx 1 2x 3 2x1(x0), f(x) 1 x 1 2x2 3 2 3x22x1 2x
7、2 3x1x1 2x2 . 令f (x)0,解得x11,x2 1 3(因 x2 1 3不在定义域内,舍去 ) 当x(0,1)时,f (x)0, 故f(x)在(1, )上为增函数 故f(x)在x1 处取得极小值f(1)3. 已知函数极值求参数 例 2 已知f(x)x3 3ax 2 bxa 2 在x 1 时有极值0.求a,b的值 思路点拨 解答本题可先求f(x),利用x 1 时有极值0 这一条件建立关于a,b 的方程组解方程组可得a,b的值,最后将a,b代入原函数验证极值情况 精解详析 f(x)在x 1 时有极值0 且f(x)3x26axb, f10, f10, 即 36ab0, 13aba20.
8、 解得 a1, b3 或 a2, b9. 当a 1,b3 时, f(x)3x26x33(x1)20, 所以f(x)在 R 上为增函数,无极值,故舍去 当a 2,b9 时, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 f(x)3x212x93(x1)(x3) 当x(, 3)时,f(x)为增函数; 当x(3, 1)时,f(x)为减函数; 当x(1, )时,f(x)为增函数 所以f(x)在x 1 时取得极小值,因此a2,b9. 一点通 已知函数极值情况,逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时,注 意两点: (1)常根据取极值点处导数为0 和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解 (2)因为导数
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