高中数学第一章1.3导数在研究函数中的作用1.3.3最大值与最小值教学案苏教版选修237.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 13.3 最大值与最小值 对应学生用书P19 1问题:如何确定你班哪位同学最高? 提示:方法很多,可首先确定每个学习小组中最高的同学,再比较每组的最高的同学, 便可确定班中最高的同学 2如图为yf(x),xa,b的图象 问题 1:试说明yf(x)的极值 提示:f(x1),f(x3)为函数的极大值,f(x2),f(x4)为函数的极小值 问题 2:你能说出yf(x),xa,b的最值吗? 提示:函数的最小值是f(a),f(x2),f(x4)中最小的,函数的最大值是f(b),f(x1),f(x3)中最 大的 3函数yg(x),yh(x)在闭区间 a,b的图象
2、都是一条连续不断的曲线(如下图所示 ) 问题 1:两函数的最大值和最小值分别是什么? 提示: 函数yg(x)的最大值为g(a), 最小值是其极小值g(c); 函数yh(x)的最大值为h(b), 最大值为h(a) 问题 2:函数的最大值和最小值是否都在区间的端点处取得? 提示:不一定 问题 3:函数的极值与函数的最值是同一个问题吗? 提示:不是 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1最大值与最小值 (1)如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的xI,总有f(x)f(x0),则称f(x0)为函 数在定义域上的最大值 最大值是相对函数定义域整体而言的,如果存在最大值,那么最大值惟一 (2)如
3、果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的xI,总有f(x)f(x0),则称f(x0)为函 数在定义域上的最小值最小值是相对函数定义域整体而言的,如果存在最小值,那么最小 值惟一 2求f(x)在区间 a,b上的最大值与最小值的步骤 (1)求f(x)在区间 (a,b)上的极值; (2)将第 (1)步中求得的极值与f(a),f(b)比较,得到f(x)在区间 a,b上的最大值与最小值 1函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部上对函数值的比较,具有相对 性;而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况,是对整个区间上的函数值的比较 2函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有
4、一个,具 有惟一性, 而极大值和极小值可能多于一个,也可能没有,例如:常数函数就既没有极大值 也没有极小值 3极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得,有极值的不一定有最值,有最 值的也未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取必定是极值 对应学生用书P19 求函数的最大值与最小值 例 1 求函数f(x)x42x23,x3,2上的最值 思 路 点 拨 求fx 令fx0得 到相应的x的值 列表 确定函数取极值的点 求极值与端点 处的函数值 比较大小 确定最值 精解详析 f(x) 4x34x, 令f (x) 4x(x1)(x1)0, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 得x 1
5、,x0,x 1. 当x变化时,f(x)及f(x)的变化情况如下表: x 3(3, 1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2 f(x)000 f(x)60 极大 值 4 极小 值 3 极大 值 4 5 所以当x 3 时,f(x)取最小值 60; 当x 1 或x1 时,f(x)取最大值4. 一点通 求函数的最值需要注意的问题: (1)用导数求函数的最值与求函数的极值方法类似,在给定区间是闭区间时,极值要和 区间端点的函数值进行比较,并且要注意取极值的点是否在区间内; (2)当函数多项式的次数大于2 或用传统方法不易求解时,可考虑用导数的方法求解 1已知函数f(x)x312x 8在区间 3,3上的
6、最大值与最小值分别为M,m.则Mm _. 解析:令f(x)3x2120,解得x 2. 计算f(3)17,f(2)24,f(2) 8,f(3) 1,所以M24,m 8,故Mm 32. 答案: 32 2求函数f(x)e x(3 x2)在区间 2,5上的最值 解:f(x)3e xexx2, f(x) 3e x(exx22exx) e x(x22x3) e x(x3)(x 1), 在区间 2,5上,f(x) e x(x3)(x1)0), g(x)x 3 bx. (1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点 (1,c)处具有公共切线,求a,b的值; (2)当a3,b 9 时,若函数f(x)g(x)
7、在区间 k,2上的最大值为28,求k的取值范围 解: (1)f (x)2ax,g(x) 3x2b. 因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点 (1,c)处具有公共切线,所以f(1)g(1),且 f(1)g(1), 即a 11b,且 2a3b, 解得a3,b3. (2)记h(x)f(x)g(x),当a3,b 9 时, h(x)x3 3x29x1, h(x) 3x26x9. 令h(x)0,得x1 3,x21. h(x)与h (x)在(, 2上的变化情况如下: x (, 3)3(3,1)1(1,2)2 h(x)00 h(x)2843 由此可知: 当k 3 时,函数h(x)在区间 k,2上的最大
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