高中数学第一章1.4.1正弦函数余弦函数的图象知识巧解学案新人教A版必修49.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 疱工巧解牛 知识 ?巧学 一、正弦函数、余弦函数的图象 1.利用单位圆中正弦线表示正弦值的方法,作出点(, sin ),0,2 . 由单位圆中的正弦线,可知只要能作出角, 就能利用几何法作出对应的正弦值sin .如图 1-4-1,当 02时,在单位圆中对任意的角,它的弧度数恰好等于角所对的弧长AP, 我们可设想把单位圆的圆周拉直到x 轴上,使 A 点与原点重合, 这时点 P 就落到 x 轴上的 (, 0)点,由于sin =MP,所以平移MP 至此,就可得到一点(, sin ).也就是说,要画出点P(, sin )
2、,只需把角的正弦线MP 向右平移,使M 点与 x 轴上表示数的点 M1重合,得到线段 M1P1,由于点 P 和 P1的纵坐标相同,都等于sin,所以点 P1(, sin )是以弧 AP 的长为横坐 标,正弦线MP 的数量为纵坐标的点. 图 1-4-1 2.正弦函数y=sinx,x 0,2的图象 (1)利用单位圆中的正弦线作y=sinx,x 0,2的图象.如图 1-4-2,在直角坐标系的x 轴 的负半轴上任取一点O1,以 O1为圆心作单位圆,从圆O1与 x 轴的交点A 起把圆弧分成12 等份,过圆O1上各分点分别作x 轴的垂线,得到对应于角0, 6 , 3 , 2 , 2等分点 的正弦线 .相应
3、地,再把 x 轴上从 0 到 2这一段分成 12 等份 ,再把角 x 所对应的正弦线向右平 移, 使它的起点与x 轴上表示数x 的点重合,最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来, 就得到了函数y=sinx ,x 0,2的图象. 图 1-4-2 (2)正弦曲线 根据诱导公式一,终边相同的角的三角函数值相等,可知对于长度为2的函数 y=sinx,x 2k, 2(k+1),kZ 且 k0 的图象,与函数y=sinx,x 0,2的图象的形状完全 一致,只是位置不同.我们只需把y=sinx,x 0, 2的图象左、右平移 (每次 2个单位), 就可得到正弦函数y=sinx,x R 的图象 (如图 1-4
4、-3). 图 1-4-3 正弦函数的图象叫做正弦曲线. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)余弦曲线 根据诱导公式y=cosx=sin(x+ 2 ), 可知 y=cosx 与 y=sin(x+ 2 )是同一函数, 而 y=sin(x+ 2 ) 的图象可由y=sinx 的图象向左平移 2 个单位得到,即余弦函数的图象是由正弦函数的图象 向左平移 2 个单位而得到的.如图 1-4-4. 图 1-4-4 余弦函数的图象叫做余弦曲线. 事实上, y=cosx=sin(x- 2 3 ),可知余弦函数y=cosx,xR 与函数 y=sin(x- 2 3 )也是同一 函数,余弦函数的图象也可以通
5、过将正弦曲线向右平移 2 3 个单位而得到. 学法一得作图象时,函数的自变量要用弧度制,只有自变量与函数值均为实数(即 x 轴、 y 轴上的单位统一),作出的图象才正规,且利于应用. 利用正弦线为端点连线作函数图象时,份数越多,图象越精确,取6 的倍数最为适宜, 它既保证了点的个数足够多,又取到了图象上关键的最值点和图象与坐标轴的交点. 由 y=sinx 的图象变换得到y=cosx 的图象,平移的量是不唯一的,平移的方向也是可左 可右的 . 二、 “五点法”作草图 通过正弦曲线、 余弦曲线可以发现,这些曲线可以按照闭区间,-4, -2, -2, 0 , 0,2, 2, 4,分段,这些闭区间的长
6、度都等于2个单位长度,并且在每一个闭区 间上曲线的形状完全一致.因此,要研究曲线的形状,只需选一个闭区间,在这里,我们不 妨选择 0,2,显然,有五个点在确定其对应图象的形状时起着关键作用.对于正弦曲线, 它们是 (0,0),( 2 ,1),(, 0),( 2 3 ,-1),(2, 0);对于余弦曲线,它们是(0,1),( 2 , 0),(, -1),( 2 3 ,0),(2, 1).因此,在精确度要求不太高时,可先找出这五个关键点,再 用光滑的曲线将它们连接起来,就得到相应函数的简图.这种方法称为“五点法”. 学法一得“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交 点
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