高中数学第一章1.4.2正弦函数余弦函数的性质知识巧解学案新人教A版必修42.pdf
《高中数学第一章1.4.2正弦函数余弦函数的性质知识巧解学案新人教A版必修42.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第一章1.4.2正弦函数余弦函数的性质知识巧解学案新人教A版必修42.pdf(7页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 疱工巧解牛 知识 ?巧学 由任意角的三角函数的定义和三角函数的图象,可知正弦函数、余弦函数的定义域都是 实数集R,即 y=sinx,x R,y=cosx,xR.通过正、余弦函数的图象,可知它有如下的主要 性质 . 一、周期性 1.对于函数y=sinx,x R, y=cosx,xR 的周期可由诱导公式一或通过观察它们的图象得出: 任何一个常数2k (kZ 且 k0)都是这两个函数的周期,它们的最小正周期都是2 . 设 T 是 y=sinx 的最小正周期,且0T2,根据周期函数的定义,当x 取定义域内每 一个值时,都
2、有sin(x+T)=sinx. 令 x= 2 ,代入上式,得sin( 2 +T)=sin 2 =1. 但是 sin( 2 +T)=cosT ,于是 cosT=1,这表明T 的值是 0,2 ,,即 T=2k ,k Z,这与 0 T2相矛盾.所以不存在小于2的最小正周期 ,即 y=sinx 的最小正周期为2 . 2.y=Asin( x+ )或 y=Acos( x+ )型的函数的周期仅与函数解析式中x 的系数有关,而与其他 量无关 .事实上,设y=Asin( x+ ),xR,其中 A、均为常数,且 A0,0.令 z= x+ ,因为 xR, 所以 zR, 且函数 y=Asinz , zR 的周期是2
3、.由于 z+2 = x+ +2 = (x+ 2 )+ ,所以自变量 x 只需增加到x+ 2 .函数值才能重复出现.所以函数y=Asin( x+ ),A0, 0 的最小正周期是 2 .同理可证y=Acos( x+ ), A0,0 的最小正周期也是 2 .例如 y=2sin( 2 1 x- 3 )的周期是4 2 1 2 等. 学法一得反证法是一种典型的补集思想,它也是一种常见的证明方法,是高考中常常考查 的一个重要内容.对一些正面推证有困难而结论的反面较结论更明确、更具体、更简单的题 目,可考虑用反证法.具体地说,对于那些含有否定词的命题,如“至少”“唯一性”“至多” “都不是”“不存在”等命题,
4、尤为适宜.反证法证题的核心是从求证结论的反面出发,把题 设连同结论的反面一起作为本题的题设进行推证,如果导出的结论与公理相矛盾、与已知条 件或临时假设相矛盾、与既成事实相矛盾、自相矛盾等,那么就否定了假设,从而肯定了原 命题的正确 . 记忆要诀函数 y=Asin( x+ ),xR 及函数 y=Acos( x+ ),xR (其中 A、为常数,且 A0,0)的周期为 T= 2 . 二、奇偶性 对于函数 f(x)=sinx ,它的定义域为R,因为 f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x) ,即对于定义域内的 任意一个x,都有 f(-x)=-f(x) ,所以它是奇函数. 对于函数 f(x)=
5、cosx ,它的定义域为R,因为 f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x) ,即对于定义域内的 任意一个x,都有 f(-x)=f(x) ,所以它是偶函数. 三、单调性 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.由正弦函数的图象及其周期性可知:正弦函数在每一个闭区间- 2 +2k,2+2k (k Z)上都是增函数,其值从-1 增大到 1;在每一个闭区间 2 +2k , 2 3 +2k (kZ)上都是 减函数,其值从1减小到 -1. 由余弦函数的图象及其周期性可知:余弦函数在每一个闭区间(2k-1), 2k (k Z) 上都是增函数,其值从-1 增加到 1;在每一个闭区间2k, (2k+
6、1) (kZ)上都是减函数, 其值从 1 减小到 -1. 2.正、余弦函数单调性的用途主要有: (1)比较三角函数值的大小:解决这类问题的关键是把所比较的三角函数值转化成同一单调 区间内的角的同名三角函数值,再比较大小, 也可进一步转化成与锐角的三角函数值相关的 形式,再比较大小. (2)求三角函数的单调区间:对于形如y=Asin( x+ )+k 或 y=Acos( x+ )+k, 0 的函数,可 把( x+ )视为一个整体,按复合函数单调性的判定方法,结合正、余弦函数的单调性,直接 写出x+ 的单调区间,再解关于x 的不等式即可. (3)借助于正、余弦函数的图象解三角不等式:对于可化为形如s
7、in( x+ )acos( x+ )a 或 sin( x+ )acos( x+ )a ,0 的弦函数不等式,可把( x+ )视为一个整体,借助于 y=sinx,xR 或 y=cosx,xR 的图象和单调性,先在长度为2的一个周期上找出适合条件 的区间,然后两边加上2k,把它扩展到整个定义域上,最后解关于x 的不等式,便可求出 x 的解 . 典题 ?热题 知识点一函数的周期 例 1 若弹簧振子对平衡位置的位移x(cm)与时间 t(s)的函数关系如图所示: (1)求该函数的周期;(2)求 t=10.5 s 时弹簧振子对平衡位置的位移. 解: (1)由图 1-4-10,可知该函数的周期为4 s. 图
8、 1-4-10 (2)设 x=f(t) ,由函数的周期为4 s,可知 f(10.5)=f(2.5+2 4)=f(2.5)=-8. 方法归纳周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个数(非零实数 ),这个数仅 仅是相对于x 而言的 .函数 y=Asin( x+ )的最小正周期是 | 2 . 知识点二函数的奇偶性 例 2 函数 f(x)=cos(2x+ 2 3 )的( ) A.最小正周期是2B.图象关于y 轴对称 C.图象关于原点对称D.图象关于x 轴对称 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 思路分析: 先利用诱导公式化简函数解析式,再作出判断. y=cos(2x+ + 2 )=-c
9、os(2x+ 2 )=sin2x, 它的周期T= 2 2 =,排除 A. 显然,它是奇函数. 答案: C 例 3 函数 f(x)=xsin( 2 -x)是( ) A.奇函数B.非奇非偶函数 C.偶函数D.既是奇函数又是偶函数 思路分析: 先利用诱导公式化简,再作出判断.对于函数f(x)=xcosx , f(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx=-f(x) , f(x)是奇函数 . 答案: A 例 4 试判断函数 xx xx xf cossin1 cossin1 )(在区间 ( 2 , 2 )上的奇偶性 . 思路分析: 可先将函数式化成最简形式,再判断. 解: (1) xx xx xxx
10、x xxxx xf 22 2 sin)cos1 ( )sin(cos1 )sincos1)(sincos1( )sincos1)(cossin1( )( x x xxx xx cos1 sin sincoscos21 cossin2 22 . 因为 x( 2 , 2 )关于原点对称,且)( cos1 sin )cos(1 )sin( )(xf x x x x xf, 所以函数 f(x)在( 2 , 2 )上是奇函数 . 巧妙变式: 如果将题中的 ( 2 , 2 )改为 2 , 2 ,情况会怎样呢?由于当x= 2 时, f( 2 )=1,而 f( 2 )无意义,因此f(x)在 x 2 , 2 上
11、不具有奇偶性,即函数f(x)在 x 2 , 2 上既不是奇函数也不是偶函数. 方法归纳函数的奇偶性是研究f(-x)与 f(x)之间关系的,其中 f(-x)是把 f(x)解析式中的x 换成 -x 而得到的 .奇、偶函数的定义域必关于原点对称.函数包括奇函数、偶函数、 非奇非偶函数、 既奇又偶函数四类.奇函数在关于原点对称的单调区间上的单调性相同,偶函数则相反. 例 5 已知函数f(x)=ax+bsin 3x+2(a、b 为常数 ),且 f(3)=5,试求 f(-3)的值 . 思路分析: 要求函数值,需先确定函数解析式,因含a、b 两个参数,需要列关于a、b 的两 个方程,而题目仅提供了f(3)=
12、5 这一个条件,它无法求a、b 的值 .由 f(3)与 f(-3)的自变量互 为相反数这一条件,应联想到函数的奇偶性,由于f(x)-2 是奇函数,所以问题可解决. 解: 令 g(x)=f(x)-2=ax+bsin 3x, 因为 g(-x)=a(-x)+bsin 3(-x)=-(ax+bsin3x)=-g(x), 所以 g(x)=ax+bsin 3x 是奇函数 . 所以 g(-3)=-g(3), 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即 f(-3)-2=- f(3)-2. 所以 f(-3)=2- f(3)-2=4-f(3)=4-5=-1 ,即 f(-3)=-1. 方法归纳一般地,在两个函数的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第一章 1.4 正弦 函数 余弦 性质 知识 巧解学案 新人 必修 42
链接地址:https://www.31doc.com/p-5590218.html