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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.4 全称量词与存在量词 全称量词和全称命题 提出问题 观察下列语句: (1)2x是偶数; (2)对于任意一个x Z,2x都是偶数 (3)所有的三角函数都是周期函数 问题 1:以上语句是命题吗? 提示: (1)不是命题, (2)(3)是命题 问题 2:上述命题中强调的是什么? 提示: (2)强调“任意一个xZ” ,(3)强调“所有的三角形” 导入新知 全称量词和全称命题 全称量词所有的、任给、每一个、对一切 符号? 全称命题含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x,有p(x)成立” , 可用符号简记为?xM,p(x) 化解疑难 全称命题是强调命
2、题的一般性,是对于某一个给定集合的所有元素是否具有某种性质来 说的 . 存在量词与特称命题 提出问题 观察下列语句: (1)存在一个x0R,使 2x0210; (2)至少有一个x0R,使x0能被 5 和 8 整除 问题 1:以上语句是命题吗? 提示:都是命题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 问题 2:上述命题有什么特点? 提示:两命题中变量x0取值有限制,即“存在一个x0R” , “至少有一个x0R” 导入新知 存在量词和特称命题 存在量词存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些 符号表示? 特称命题含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x0,使p(x0)成立”, 可用符号简记
3、为?x0M,p(x0) 化解疑难 特称命题是强调命题的存在性,是对于某一个给定集合的某些元素是否具有某种性质来 说的 含有一个量词的命题的否定 提出问题 观察下列命题: (1)有的函数是偶函数; (2)三角形都有外接圆 问题 1:上述命题是全称命题还是特称命题? 提示: (1)是特称命题, (2)是全称命题 问题 2:上述命题的量词各是什么?其量词的“反面”是什么? 提示:有的;所有的所有的;存在一个 导入新知 含有一个量词的命题的否定 化解疑难 一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一 个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称
4、量词改为存在量 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 词,存在量词改为全称量词 全称命题与特称命题 例 1 判断下列语句是全称命题,还是特称命题 (1)凸多边形的外角和等于360; (2)有的向量方向不定; (3)对任意角,都有 sin 2 cos 2 1; (4)矩形的对角线不相等; (5)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直 解 (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360,故为全称命题 (2)含有存在量词“有的” ,故是特称命题 (3)含有全称量词“任意” ,故是全称命题 (4)可以改为所有矩形的对角线不相等,故为全称命题 (5)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故
5、为全称命题 类题通法 判定命题是全称命题还是特称命题,主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量 词 要注意的是有些全称命题并不含有全称量词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断 活学活用 用全称量词或存在量词表示下列语句: (1)不等式x2x10 恒成立; (2)当x为有理数时, 1 3 x2 1 2x1 也是有理数; (3)等式 sin()sin sin 对有些角,成立; (4)方程 3x 2y10 有整数解 解: (1)对任意实数x,不等式x2x10 成立 (2)对任意有理数x, 1 3x 2 1 2x1 是有理数 (3)存在角,使 sin()sin sin 成立 (4)存在一对整数x,y
6、,使 3x2y10 成立 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 全称命题、特称命题的真假 例 2 指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假 (1)?xN,2x1 是奇数; (2)存在一个x0R,使 1 x01 0; (3)存在一组m,n的值,使mn1; (4)至少有一个集合A,满足A1,2,3 解 (1)是全称命题因为对任意自然数x,2x1 都是奇数,所以该命题是真命题 (2)是特称命题因为不存在x0R,使 1 x010 成立,所以该命题是假命题 (3)是特称命题当m4,n 3时,mn1 成立,所以该命题是真命题 (4)是特称命题存在A3 ,使A1,2,3 成立,所以该命题
7、是真命题 类题通法 (1)要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立; 但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可 (这就是 通常所说的“举出一个反例”) (2)要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0使p(x0)成立即 可;否则,这个特称命题就是假命题 活学活用 判断下列命题的真假: (1)p:所有的单位向量都相等; (2)p:任一等比数列an的公比q0; (3)p: ?x0R,x20 2x030. 解: (1)p是全称命题,是假命题 若两个单位向量e1,e2方向不相同,虽然有|e1| |e2| 1,
8、但e1e2. (2)p是全称命题,是真命题 根据等比数列的定义知,任一等比数列中,其每一项an 0,所以其公比q an1 an 0(n 1,2,3, ) (3)p是特称命题,是假命题 因为对于綈p:?xR,x22x 30 是真命题,这是因为x22x3(x1)222 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 0 恒成立 . 全称命题与特称命题的否定 例 3 写出下列命题的否定,并判断其真假 (1)p: ?xR,x2x 1 40; (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x0R,x204x06 0; (4)s:至少有一个实数x,使x310. 解 (1)綈p:?x0R,x2 0x0 1 4 0
9、,假命题 因为 ?xR,x2x 1 4 x 1 2 2 0恒成立 (2)綈q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题 (3)綈r:?x R,x24x60,真命题 (4)綈s:?x R,x3 10,假命题, 因为x 1 时,x310. 类题通法 (1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称命题还是特称 命题, 并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称 量词,同时否定结论 (2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再 依据规则来写出命题的否定 活学活用 判断下列命题是全称命题还是特称命题,并写出这些命题的否定:
10、(1)有一个奇数不能被3 整除; (2)?xZ,x2与 3 的和不等于0; (3)有些三角形的三个内角都为60; (4)每个三角形至少有两个锐角; (5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 解: (1)是特称命题,否定为:每一个奇数都能被3 整除 (2)是全称命题,否定为:?x0Z,x20与 3的和等于0. (3)是特称命题,否定为:任意一个三角形的三个内角不都为60. (4)是全称命题,否定为:存在一个三角形至多有一个锐角 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (5)是全称命题,省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是 圆的切线”,否定为:存在一条与圆只有一个公共点
11、的直线不是圆的切线 全称命题与特称命题的应用 例 4 若命题“ ?x1, ),x22ax2a”是真命题,求实数a的取值范围 解 法一:由题意,?x1, ), 令f(x)x22ax2a恒成立, 所以f(x)(xa)22a 2 a可转化为 ?x1, ),f(x)mina恒成立, 而?x 1, ), f(x)min 2a 2,a 1, 1a 22a2, a 1. 由f(x)的最小值f(x)mina,知a3,1 法二:x22ax2a, 即x22ax2a0, 令f(x)x22ax2a, 所以全称命题转化为?x1, ), f(x)0 恒成立, 所以0 或 4a 24 2a0, a 1, f10, 即 2a
12、1 或 3a 2.所以 3a1. 综上,所求实数a的取值范围是 3,1 类题通法 应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型 (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题,全称命题为真时,意味着命题对应的集合 中的每一个元素都具有某种性质,所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质;也可 以根据函数等数学知识来解决 (2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语 句表达解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结 合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理
13、 假设 活学活用 若存在x0R,使ax 2 02x0a0,求实数a的取值范围 解:当a0 时,显然存在x0R,使ax 2 02x0a0; 当a 0时,需满足44a20,得 1a 1,故 0a1. 综上所述,实数a的取值范围是 (, 1) 3.量词否定的易误点 典例 (浙江高考 )命题“ ?xR,?nN *,使得 nx2”的否定形式是( ) A?xR,?nN *,使得 nx2 B?xR,?nN *,使得 nx2 C?xR,?nN *,使得 nx2 D ?xR,?nN *,使得 nx2 解析 由于特称命题的否定形式是全称命题,全称命题的否定形式是特称命题,所以 “?xR,?nN *,使得 nx2”
14、的否定形式为“?x R,?nN *,使得 nx2” 答案 D 易错防范 1因只否定了一个量词,而误选B 或 C. 2对含有量词的命题进行否定时,要明确否定的实质,不应只简单地对量词进行否定, 应遵循否定的要求,同时熟练记住一些常用量词的否定形式及其规律 成功破障 命题“存在xR,使得 2 x2x12 n,则綈 p为( ) A?nN,n22 n B?nN,n22 n C?nN ,n22nD?nN,n22n 解析:选 C 因为“ ?xM,p(x)”的否定是“ ?xM,綈p(x)” ,所以命题“ ?nN, n22 n”的否定是“ ?n N,n22n” ,故选 C. 2下列语句是真命题的是( ) A所
15、有的实数x都能使x23x60 成立 B存在一个实数x使不等式x23x 60 成立 C存在一条直线与两个相交平面都垂直 D有一条直线和两个相交平面都垂直 解析:选A 0,x23x60 对xR 恒成立,故排除B;假设存在这样的直线与 两个相交平面垂直,则两个平面必平行,故排除C, D. 3有下列四个命题:?xR,2x23x 40; ?x 1, 1,0,2x10; ?x0 N,使x2 0x0; ? x0N *,使 x0为 29 的约数其中真命题的个数为( ) A 1 B2 C3 D 4 解析:选 C 对于,这是全称命题,由于( 3) 24 240,所以 2x23x4 0 恒成立,故为真命题; 对于,
16、这是全称命题,由于当x 1 时, 2x10 不成立,故为假命题; 对于,这是特称命题,当x00或x01 时,有x2 0x0成立,故为真命题; 对于,这是特称命题,当x01时,x0为 29 的约数成立,所以为真命题 4以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A锐角三角形的内角是锐角或钝角 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 B至少有一个实数x,使x20 C两个无理数的和必是无理数 D存在一个负数x,使 1 x2 解析:选B A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题;B 中x0 时,x20, 所以 B 既是特称命题又是真命题;C 中因为3 (3)0,所以 C 是假命题; D 中对于
17、任 一个负数x,都有 1 x0,所以 D 是假命题 5已知a0,函数f(x)ax 2 bxc.若x0满足关于x的方程 2axb0,则下列选项的 命题中为假命题的是( ) A?xR,f(x)f(x0) B?xR,f(x)f(x0) C?xR,f(x)f(x0) D ?xR,f(x)f(x0) 解析: 选 C 由题意知:x0 b 2a为函数 f(x)图象的对称轴方程,所以f(x0)为函数的最小 值,即对所有的实数x,都有f(x)f(x0),因此 ?xR,f(x)f(x0)是假命题 二、填空题 6命题“ ?x R,3x22x10”的否定是 _ 解析: “ ?xM,p(x)”的否定为“ ?x0M,綈p
18、(x0)” ,其否定为 ?x0R,3x2 0 2x01 0. 答案: ?x0R,3x202x010 7下列命题中,是全称命题的是_;是特称命题的是_(填序号 ) 正方形的四条边相等; 有两个角相等的三角形是等腰三角形; 正数的平方根不等于0; 至少有一个正整数是偶数 解析: 可表述为 “每一个正方形的四条边相等”,是全称命题; 是全称命题, 即“凡 是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”;可表述为“所有正数的平方根不等于0”是 全称命题;是特称命题 答案: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 8 已知命题“?x0R,2x20(a1)x0 1 20” 是假命题, 则实数 a的取值范围是_
19、解析:由题意可得“对?xR,2x2(a1)x 1 2 0 恒成立”是真命题令 (a1)24 0,得 1a3. 答案: ( 1,3) 三、解答题 9用“ ? ” “? ”写出下列命题的否定,并判断真假: (1)二次函数的图象是抛物线; (2)直角坐标系中,直线是一次函数的图象; (3)有些四边形存在外接圆; (4)?a,bR,方程axb 0无解 解: (1)?f(x) 二次函数 ,f(x)的图象不是抛物线它是假命题 (2)在直角坐标系中,?l 直线 ,l不是一次函数的图象它是真命题 (3)?x四边形 ,x不存在外接圆它是假命题 (4)?a,bR,方程axb 0至少有一解它是假命题 10已知命题p: “至少存在一个实数x01,2,使不等式x22ax2a0 成立”为真, 试求参数a的取值范围 解:法一:由题意知,x22ax2a0 在1,2上有解,令f(x)x22ax2a,则只需 f(1)0 或f(2)0,即 12a2a0,或 44a2a 0. 整理得a 3 或a 2,即a 3.故参数a的取值范围为( 3, ) 法二:綈p:?x1,2,x22ax2a0 无解, 令f(x)x22ax2a, 则 f10, f20, 即 12a2a0, 44a2a0. 解得a 3. 故命题p中,a 3, 即参数a的取值范围为 (3, )
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