高中数学第一章1.4全称量词与存在量词教学案新人教A版选修2.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.4 全称量词与存在量词 核心必知 1预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材P21P25的内容,回答下列问题 (1)观察教材P21“思考”中的4 个语句: 这 4 个语句中是命题的有哪几个? 提示: (1)(2)不是命题; (3)(4)是命题 语句 (3)和语句 (1)之间有什么关系? 提示:语句 (3)在语句 (1)的基础上,用短语“对所有的”对变量x进行限定 语句 (4)和语句 (2)之间有什么关系? 提示:语句 (4)在语句 (2)的基础上,用短语“对任意一个”对变量x进行限定 (2)观察教材P22“思考”中的4 个语句: 这 4 个语句
2、都是命题吗? 提示: (1)(2)不是命题; (3)(4)是命题 语句 (3)和语句 (1)之间有什么关系? 提示:语句 (3)在语句 (1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定 语句 (4)和语句 (2)之间有什么关系? 提示:语句 (4)在语句 (2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定 (3)写出教材P24“探究”中三个命题的否定 提示:命题 (1)的否定:存在一个矩形不是平行四边形; 命题 (2)的否定:存在一个素数不是奇数; 命题 (3)的否定: ?x0R,x202x017 D ?xM,p(x)成立 解析:选B B 选项中有存在量词“存在”,故 B 项是特称
3、命题,A 和 C 不是命题, D 是全称命题 2判断下列命题是全称命题还是特称命题: (1)负数没有对数; (2)至少有一个整数,它既能被2 整除,又能被5 整除; (3)?xx|x是无理数 ,x2是无理数; (4)?x0Z,log2x00. 解: (1)和(3)为全称命题(2)和(4)为特称命题 思考 1 如何判定一个全称命题的真假? 名师指津: 要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x) 成立; 但要判定一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个xx0,使得p(x0)不成 立即可 (这就是通常所说的“举出一个反例”) 思考 2 如何判定一个特称命题的真假?
4、名师指津:要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个xx0,使 p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题 讲一讲 2(1)下列命题中的假命题是( ) A?x0R, lg x0 0 B ?x0R,tan x01 C?xR,x30 D ?xR,2 x0 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)判断下列命题的真假: 任意两向量a,b,若ab0,则a,b的夹角为锐角; ?x0,y0为正实数,使x20y200; 在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P. 尝试解答 (1)当x0 时,x30,故选项C 为假命题 (2)因为ab|a|b| cosa,b 0,所以
5、cosa,b 0,又 0a,b, 所以 0a,b 1 2; (2)? 0,0,使 cos(00)cos 0cos 0; (3)?x,yN,都有xyN . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解: (1)真命题因为x2x1 1 2 x 1 2 2 1 4 1 40. 所以x2x1 1 2恒成立 (2)真命题例如,0 4 ,0 2 ,符合题意 (3)假命题例如,x 1,y5,xy 4? N. 讲一讲 3写出下列命题的否定,并判断其真假 (1)p: ?xR,x2x 1 40; (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x0R,x204x06 0; (4)s:至少有一个实数x,使x310.
6、尝试解答 (1) :?x0R,x2 0x0 1 40,真命题 (4) :?xR,x310,假命题 因为x 1 时,x310. (1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称命题还是特称 命题, 并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称 量词,同时否定结论 (2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再 依据规则来写出命题的否定 练一练 4判断下列命题是全称命题还是特称命题,并写出这些命题的否定: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)有一个奇数不能被3 整除; (2)?xZ,x2与 3 的和不等于0
7、; (3)有些三角形的三个内角都为60; (4)每个三角形至少有两个锐角; (5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 解: (1)是特称命题,否定为:每一个奇数都能被3 整除 (2)是全称命题,否定为:?x0Z,x20与 3的和等于0. (3)是特称命题,否定为:任意一个三角形的三个内角不都为60. (4)是全称命题,否定为:存在一个三角形至多有一个锐角 (5)是全称命题,省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是 圆的切线”,否定为:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线 讲一讲 4若命题“ ?x1, ),x2 2ax2a”是真命题,求实数a的取值范围 尝试解答 法
8、一:由题意,?x1, ), 令f(x)x22ax2,则f(x)a恒成立, 所以f(x)(xa)22a 2 a可转化为 ?x1, ),f(x)mina恒成立, 而?x 1, ), f(x)min 2a 2, a 1, (1a) 22a2, a0, af(x)(或af(x)max(或af(x0)(或af(x)min(或a0 时,需满足44a 20,得 10 C任意无理数的平方必是无理数 D存在一个负数x,使 1 x2 解析:选 A 只有 A, C 两个选项中的命题是全称命题;且 A 显然为真命题 因为2是 无理数,而 (2)22 不是无理数,所以C 为假命题 2以下四个命题既是特称命题又是真命题的
9、是( ) A锐角三角形的内角是锐角或钝角 B至少有一个实数x,使x20 C两个无理数的和必是无理数 D存在一个负数x,使 1 x2 解析:选B A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题;B 中x0 时,x20, 所以 B 既是特称命题又是真命题;C 中因为3 (3)0,所以 C 是假命题; D 中对于任 一个负数x,都有 1 x0,所以 D 是假命题 3有下列四个命题:?xR, 2x23x 40; ?x1, 1, 0,2x10; ?x0N,使x20x0; ?x0N *,使 x0为 29 的约数其中真命题的个数为( ) A 1 B2 C 3 D4 解析:选C 对于,这是全称命题,由于(3)2
10、4240 恒成立,故为真命题; 对于,这是全称命题,由于当x 1 时, 2x10 不成立,故为假命题; 对于,这是特称命题,当x00或x01 时,有x20x0成立,故为真命题; 对于,这是特称命题,当x01时,x0为 29 的约数成立,所以为真命题 题组 2 全称命题、特称命题的否定 4命题“ ?x 0, ),x3x0”的否定是 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A?x(, 0),x3x0 B不存在xZ,使x22xm0 C?xZ,使x2 2xm0 D ?xZ,使x22xm0 解析:选 D 特称命题的否定为全称命题,否定结论故选D. 6命题p: “有些三角形是等腰三角形”,则是(
11、 ) A有些三角形不是等腰三角形 B所有三角形是等边三角形 C所有三角形不是等腰三角形 D所有三角形是等腰三角形 解析:选C 在写命题的否定时,一是更换量词,二是否定结论更换量词:“有些” 改为“所有” ,否定结论: “是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”,故为“所有三角 形不是等腰三角形” 故选 C. 7命题“ ?xR,使得x22x5 0”的否定是 _ 解析: “ ?xR,使得x22x50”的否定为“ ?xR,使得x2 2x50” 答案: ?xR,使得x22x 50 题组 3 全称命题、特称命题的应用 8 已知命题“?x0R, 2x20(a1)x0 1 20” 是假命题, 则实数 a的取值范
12、围是_ 解析:由题意可得“对?xR,2x2(a1)x 1 20 恒成立”是真命题,令 (a1)2 4m(x21),q:?x0R,x202x0m10,且pq为真,求 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 实数m的取值范围 解:由命题p为真可知 2xm(x21)恒成立, 即mx 22x m0 C若 lg x20,则x1 D ?x0Z,使 10,则下列结论成立的是( ) 解析:选 D f(x)x2bxc x b 2 2 c b2 4 , 对称轴为x b 20, 所以f(x)在0, )上为增函数,命题p是真命题令x04 Z,则 log2x020,所以 命题q是真命题,为假命题,p()为真命题故选D
13、. 5命题p:?x0 R,x202x050 恒成 立, 所以命题p为假命题, 命题p的否定为: ?x R,x22x50. 答案:特称命题假?xR,x22x5 0 6已知a0,函数f(x)ax 2 bxc.若x0满足关于x的方程 2axb0,则下列四个命 题中假命题的序号是_ ?x R,f(x)f(x0); 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ?x R,f(x)f(x0); ?x R,f(x)f(x0); ?x R,f(x)f(x0) 解析:由题意:x0 b 2a 为函数f(x)图象的对称轴方程,所以f(x0)为函数的最小值,即 对所有的实数x,都有f(x)f(x0),因此 ?x R,f(
14、x)f(x0)是错误的 答案: 7已知p:存在实数x,使 4x2xm10 成立,若是假命题,求实数m的取值 范围 解:为假命题,p为真命题 即关于x的方程 4 x2x m1 0有解 由 4x2xm10, 得m 2x 1 2x 2 x 1 2 x 2. 即m的取值范围为 (, 2 8已知p: “?x1,2,x2a0” ,q: “?x0R,使x202ax02a0” 若命题“p 且q”是真命题,求实数a的取值范围 解:p为真时,x2a0, 即ax2. x 1,2时,上式恒成立,而x21,4,a1. q为真时,(2a)24(2a) 0, 即a 1或a 2. p且q为真命题,p,q均为真命题 a1 或a
15、 2. 即实数a的取值范围是 a|a1 或a 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 命题真假的判断是高考命题的重要内容之一,是高考的热点题型这类题一般涉及一般 命题真假的判断、含有逻辑联词的命题真假的判断、含有量词的命题真假的判断、命题的四 种形式的真假的判断等并且这些内容一般不会单独命题,往往与其他相关的数学知识结合 起来进行考查,且主要以选择题、填空题的形式进行考查 典例 1 (1)已知命题p:函数f(x)2sin 2x 3 的图象关于x 6对称, 命题 q:函数f(x) 2sin 2x 3 向右平移 6个单位,所得函数图象关于原点对称,则下列选项中是假命题的是 ( ) (2)下
16、列命题中是假命题的是( ) A?x 0, 2 ,xsin x B?x0 R, sin x0cos x02 C?xR,3x0 D ?x0R, lg x00 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析: (1)f 6 2sin 2 3 32, f(x)的图象不关于x 6对称故 p为假命题 平移后所得函数为y2sin 2x 6 3 2sin 2x,易知此函数为奇函数, 函数图象关于原点对称,q为真命题 ()()为假命题 (2)根据三角函数的定义和三角函数线,可以证明:当x 0, 2 时,xsin x故选项A 为真命题;对xR,sin xcos x2sinx x 4 2,2 ,因此不可能存在x0R
17、,使 sin x0cos x02,故选项B 为假命题;因为指数函数的值域为(0, ),所以对 ?xR, 3x0,故选项C 为真命题;当x01 时,lg x0lg 10,故选项 D 为真命题 答案: (1)D (2)B 对点训练 1给出以下命题,其中为真命题的是_ 函数ya x(a0,a1)与函数 ylogaax(a0,a1)的定义域相同; 若函数ysin(2x)的图象关于y轴对称,则 2; 函数y(x1)2与y2x 1在区间 0, )上都是增函数; 若不等式 |x 4|0. 解析:因为ylogaa xx,其定义域为 R,与ya x 的定义域相同,所以为真命题;若 函数y sin(2x)的图象关
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