高中数学第一章1.4学案北师大版必修559.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 1 课时空间图形基本关系的认识与公理13 核心必知 1空间图形的基本位置关系 点 点与直线 点在直线上 点在直线外 点与平面 点在平面内 点在平面外 2空间图形的3 条公理 文字语言图形语言符号语言 公理 1 过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面(即可以 确定一个平面) 若A、B、C三点不共线, 则存在唯一一个平面使A ,B,C 续 表 文字语言图形语言符号语言 公理 2 如果一条直线上的两点在 一个平面内, 那么这条直线 在此平面内 (即直线在平面 内) 若Al,Bl,且A,B ,则 公理 3 如果两个不重合的平面有 一个公共点, 那么它
2、们有且 只有一条过该点的公共直 线 若A,A,且与不 重合,则l,且Al 问题思考 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1三点确定一个平面吗? 提示: 当三点在一条直线上时,不能确定一个平面,当三点不在同一条直线上时,确定 一个平面 2三条两两相交的直线,可以确定几个平面? 提示: 若三条直线两两相交于一点时,则可以确定一个或三个平面;若相交于三个交点 时,则可以确定一个平面 讲一讲 1如图所示,已知一直线a分别与两平行直线b,c相交求证:a,b,c三线共面 尝试解答 证明:bc,直线b与c确定一个平面. 如图,令abA,acB, A,B,AB. 即a,a,b,c三线共面 证明点线共面的
3、常用方法: 纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内 辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明 平面、重合 练一练 1已知abc,laA,lbB,lcC, 求证:直线a,b,c和l共面 证明:ab,直线a与b确定一个平面,设为,如图 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 laA,lbB, Aa,Bb,则A,B. 而Al,Bl, 由公理 2 可知:l. bc,直线b与c确定一个平面,设为, 同理可知l. 平面和平面都包含直线b与l,且lbB, 又经过两条相交直线,有且只有一个平面, 平面与平面重合,直线a,b,c和l共面 . 讲一讲 2.已知AB
4、C在平面外,它的三边所在的直线分别交平面于P,Q,R(如图 ),求证: P,Q,R三点共线 尝试解答 证明:法一:ABP, PAB,P平面. 又AB平面ABC,P平面ABC. 由公理 3 可知,点P在平面ABC与平面的交线上 同理可证Q,R也在平面ABC与平面的交线上, P,Q,R三点共线 法二:APARA, 直线AP与直线AR确定平面APR. 又ABP,ACR, 平面APR平面PR. B平面APR,C平面APR,BC平面APR. 又Q直线BC, Q平面APR.又Q,QPR. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 P,Q,R三点共线 证明点共线问题的常用方法有:法一是首先找出两个平面,然后
5、证明这些点都是这两个 平面的公共点,根据公理3,这些点都在交线上法二是选择其中两点确定一条直线,然后 证明另外的点在其上 练一练 2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于Q,求证:B, Q,D1三点共线 证明:D1平面ABC1D1,D1平面A1D1CB,B平面ABC1D1,B平面A1D1CB, 平面ABC1D1平面A1D1CBBD1. A1C平面ABC1D1Q,且A1C在平面A1D1CB内, Q平面A1D1CB,Q平面ABC1D1, Q在两平面的交线BD1上, B,Q,D1三点共线 . 讲一讲 3已知:平面,两两相交于三条直线l1,l2,l3,且l1,l
6、2,l3不平行求证:l1,l2, l3相交于一点 尝试解答 证明:如图,l1, l2,l3. l1,l2,且l1,l2不平行, l1与l2必相交设l1l2P, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则Pl1,Pl2, Pl3, l1,l2,l3相交于一点P. 证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点,然后说明这个点在 两个平面上,并且这两个平面相交(交线是第三条直线),于是得到交线也过此点,从而得到 三线共点 练一练 3已知在正方体ABCD-ABCD中,如图,E,F分别为AA,AB上的点 (E, F不与A,B重合 )且EFCD,求证:CF,DE,DA三线共点于P. 证明:
7、由EFCD知E,F,C,D四点共面 因为E,F不与A,B重合,所以EFCD,即四边形EFCD为梯形 设DECFP,DE平面AADD,PDE,P平面AADD. 又CF平面ABCD,PFC,P平面ABCD, 即P是平面ABCD与平面AADD的公共点 又平面ABCD平面AADDAD,PAD,即CF,DE,DA三线共点于 P. 已知:空间中A,B,C,D,E五点,A,B,C,D共面,B,C,D,E共面,则A, B,C,D,E五点一定共面吗? 错解 A,B,C,D共面, 点A在点B,C,D所确定的平面内 点B,C,D,E四点共面, 点E也在点B,C,D所确定的平面内, 点A,E都在点B,C,D所确定的平
8、面内, 即点A,B,C,D,E一定共面 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 错因 在证明共面问题时,必须注意平面是确定的上述错解中,由于没有注意到B, C,D三点不一定确定平面,即默认了B,C,D三点一定不共线,因而出错也即题知条 件由B,C,D三点不一定确定平面,因此就使得五点的共面失去了基础 正解 A,B,C,D,E五点不一定共面 (1)当B,C,D三点不共线时,由公理可知B,C,D三点确定一个平面,由题设知A ,E,故A,B,C,D,E五点共面于; (2)当B,C,D三点共线时,设共线于l,若Al,El,则A,B,C,D,E五点共面; 若A,E有且只有一点在l上,则A,B,C,D,
9、E五点共面;若A,E都不在l上,则A, B,C,D,E五点可能不共面 综上所述,在题设条件下,A,B,C,D,E五点不一定共面 1下列图形中不一定是平面图形的是( ) A三角形B菱形 C梯形D四边相等的四边形 解析:选 D 四边相等不具有共面的条件,这样的四边形可以是空间四边形 2(重庆高考 )设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a,且长为a的棱与长为2的 棱异面,则a的取值范围是( ) A(0,2) B(0,3) C(1,2) D(1,3) 解析:选 A 如图所示的四面体ABCD中, 设ABa,则由题意可得CD2,其他边的长都为1,故三角形ACD及三角形BCD 都是以CD为斜边的等
10、腰直角三角形,显然a0.取CD中点E,连接AE,BE,则AECD, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BECD且AEBE1 2 2 2 2 2 ,显然A、B、E三点能构成三角形,应满足任意 两边之和大于第三边,可得2 2 2 a,解得 0a2. 3下列四个命题中,真命题的个数为( ) 如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合 两条直线可以确定一个平面 若M,M,l,则Ml 空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内 A 1 B2 C3 D4 解析:选 A 两个平面有三个公共点时,两平面相交或重合,错;两条直线异面时不 能确定一个平面,错;空间中,相交于同一点的三条直线不一定在同一平
11、面内,错 只有对 4如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系: (1)直线A1B与D1C的位置关系是_; (2)直线A1B与B1C的位置关系是 _; (3)直线D1D与D1C的位置关系是_; (4)直线AB与B1C的位置关系是_ 答案: (1)平行(2)异面(3)相交(4)异面 5若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则直线a与直线c的位置关系是 _ 解析:两条直线a,c都与同一条直线b是异面直线,则这两条直线平行、相交或异面 都有可能 答案:平行、相交或异面 6证明:两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 证明:设这两两相交且不共点的三条直线分别为l1,l2,l
12、3,且 l1l2A,l2l3B, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 l1l3C(如图所示 ) l1与l2相交,l1与l2确定一平面. Bl2,Cl1,B,C, 又Bl3,Cl3,l3, 即两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 一、选择题 1如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断中正确的是( ) AA,B,C,D四点中必有三点共线 BA,B,C,D四点中不存在三点共线 C直线AB与CD相交 D直线AB与CD平行 解析:选B 若A,B,C,D四点中有三点共线,则A,B,C,D四点共面,若AB 与CD相交 (或平行 ),则AB与CD共面,即得A,B,C,D四点共面 2若点A在直线b
13、上,b在平面内,则A,b,之间的关系可以记作( ) AAb,bBAb,b CAb,bDAb,b 解析:选 B 点A在直线b上,Ab,又直线b在平面内,b,Ab, b. 3如图,平面平面l,点A,点B,且点C,点C?l.又ABlR,设 A,B,C三点确定的平面为,则是( ) A直线ACB直线BC C直线CRD 直线AR 解析:选 C C平面ABC,AB平面ABC,而RAB, R平面ABC.而C,l,Rl,R, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 点C,点R为两平面ABC与的公共点,CR. 4平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( ) A 3 B4
14、C5 D6 解析:选 C 与AB共面也与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1,共 5条 5在四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与 HG交于点M,则 ( ) AM一定在直线AC上 BM一定在直线BD上 CM可能在AC上,也可能在BD上 DM不在AC上,也不在BD上 解析:选 A 因为E,F,G,H分别是四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA上的点, EF与HG交于点M,所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点,而两个平面的交线为 AC,所以M一定在直线AC上 二、填空题 6空间四点A,B,C,D,其中任何三点都不在同一直线上,它们一共可
15、以确定平面 的个数为 _ 解析:四点共面时,确定1 个平面,任何三点不共线,四点不共面时,确定4 个平面 答案: 1 或 4 7如图,在这个正方体中,BM与ED平行;CN与BM是异面直线;CN与BE 是异面直线;DN与BM是异面直线 以上四个命题中,正确命题的序号是_ 解析:观察图形可知错误,正确 答案: 8有下面几个说法: 如果一条线段的中点在一个平面内,那么它的两个端点也在这个平面内; 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 两组对边分别平行的四边形是平行四边形; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 四边形有三条边在同一平面内,则第四条边也在这个平面内; 点A在平面外,点A和平面内的
16、任意一条直线都不共面 其中正确的序号是_(把你认为正确的序号都填上) 解析:中线段可与平面相交;中的四边形可以是空间四边形;中平行的对边能 确定平面, 所以是平行四边形;中三边在同一平面内,可推知第四条边的两个端点也在这 个平面内,所以第四条边在这个平面内;中点A与内的任意直线都能确定一个平面 答案: 三、解答题 9如图所示,ABP,CDP,A,D与B,C分别在平面的两侧,ACQ, BDR. 求证:P,Q,R三点共线 证明:ABP,CDP,ABCDP. AB,CD可确定一个平面,设为. AAB,CCD,BAB,DCD, A,C,B,D. AC,BD,平面,相交 ABP,ACQ,BDR, P,Q
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- 高中数学 第一章 1.4 北师大 必修 559
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