高中数学第一章1.4第2课时空间图形的公理4及等角定理学案北师大版必修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 2 课时空间图形的公理 4 及等角定理 1.掌握公理4 和“等角定理”.(重点 ) 2.理解异面直线所成的角及直线与直线垂直的定义.(重点、易错点 ) 3.会求异面直线所成的角.(难点 ) 基础初探 教材整理 1 公理 4 阅读教材 P25“公理 4”部分,完成下列问题. 1.条件:两条直线平行于同一条直线. 2.结论:这两条直线平行. 3.符号表述: ab bc ?ac. 已知a,b是平行直线,直线c直线a,则c与b( ) A.不平行B.相交 C.平行D.垂直 【解析】若cb,则ab,与已知矛盾,因而c不与b平行 . 【答案】C 教材整理 2
2、等角定理 阅读教材 P26“等角定理”部分内容,完成下列问题. 1.条件:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行. 2.结论:这两个角相等或互补. 空间中一个角A的两边分别与另一个角B的两边对应平行, 若A70,则B_. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【解析】若A的两边与B的两边方向均相同或均相反,则B70;若两个角的一 组边方向相同,另一组方向相反,则B110 . 【答案】70或 110 教材整理 3 异面直线所成的角 阅读教材 P26有关部分,完成下列问题. 定义 过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(al1,bl2), 这两条相交直线所成的锐角(或直角
3、)就是异面直线a,b所成的角 取值 范围 异面直线所成的角的取值范围:0, 2 特例当 2 时,a与b互相垂直,记作ab 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AA1与BC1所成的角的大小为_. 【解析】BB1AA1,B1BC1为直线AA1与BC1所成的角,其大小为45. 【答案】45 小组合作型 公理 4的应用 如图 1-4-11,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD, DA的中点 . 图 1-4-11 (1)求证:四边形EFGH是平行四边形; (2)若四边形EFGH是矩形,求证:ACBD. 【导学号: 39292020】 【精彩点拨】(1)先证明它是一个平面四
4、边形,再用平行四边形的判定定理证明. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)若四边形EFGH是矩形,则EHGH,从而推知ACBD. 【自主解答】(1)如题图,在ABD中, EH是ABD的中位线, EHBD,EH 1 2BD. 又FG是CBD的中位线, FGBD,FG 1 2BD , FGEH,E,F,G,H四点共面,又FGEH, 四边形EFGH是平行四边形. (2)由(1)知EHBD,同理ACGH.又四边形EFGH是矩形,EHGH,AC BD. 空间中证明两直线平行的方法: 1借助平面几何知识证明,如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线 段证平行等 . 2利用公理4 证明,
5、即证明两直线都与第三条直线平行. 再练一题 1.已知在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中,M,N分别为CD,AD的中点 . 图 1-4-12 求证:四边形MNAC是梯形 . 【证明】连接AC(图略 ). M,N为CD,AD的中点,MN 1 2AC. 由正方体性质可知AC A C, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 MN 1 2A C,四边形MNAC是梯形 . 等角定理的应用 如图 1-4-13,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中 点. 图 1-4-13 (1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形; (2)求证:BMCB1M1C1. 【精彩点拨】(
6、1)利用公理4 进行平行之间的转化,得到平行关系. (2)利用等角定理证明两角相等. 【自主解答】(1)ABCD-A1B1C1D1为正方体, AD A1D 1, 又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点, AM A1M1, 四边形AMM1A1为平行四边形, MM1 AA 1. 又AA1BB1且AA1BB1, MM1 BB1, 四边形BB1M1M为平行四边形. (2)法一:由 (1)知四边形BB1M1M为平行四边形, B1M1BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形, C1M1CM. 由平面几何知识可知,BMC和B1M1C1都是锐角, BMCB1M1C1. 法二:由 (1)知四边形BB1M1
7、M为平行四边形, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 B1M1BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形, C1M1CM. 又B1C1BC,BCMB1C1M1, BMCB1M1C1. 1.空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的:若一个角的两边与另一个角的两边 分别对应平行且方向都相同或相反,那么这两个角相等;若一个角的两边与另一个角的两 边分别平行,有一组对边方向相同,另一组对边方向相反,那么这两个角互补. 2.证明角相等,一般采用以下途径 (1)利用等角定理;(2)利用三角形相似;(3)利用三角形全等. 再练一题 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,M,N分别为AD
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