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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4 逻辑联结词“且”“或” “非” 对应学生用书P11 用逻辑联结词构成新命题 如图所示,有三种电路图 问题 1:甲图中,什么情况下灯亮? 提示:开关p闭合且q闭合 问题 2:乙图中,什么情况下灯亮? 提示:开关p闭合或q闭合 问题 3:丙图中什么情况下灯不亮? 提示:开关p不闭合 用逻辑联结词“且” “或” “非”构成新命题 (1)用逻辑联结词“且”联结两个命题p和q,构成一个新命题“p且q” (2)用逻辑联结词“或”联结两个命题p和q,构成一个新命题“p或q” (3)一般地,对命题p加以否定,就得到一个新命题,记作綈p,读作“非p”. 含逻辑联结
2、词命题的真假 在知识点一中的甲、乙、丙三种电路图中,若开关p,q的闭合与断开分别对应着命题 p,q的真与假,则灯亮与不亮分别对应着p且q,p或q,非p的真与假 问题 1:什么情况下,p且q为真命题? 提示:当p真,且q真时 问题 2:什么情况下,p或q为假命题? 提示:当p假,且q假时 问题 3:什么情况下,綈p为真命题? 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 提示:当p为假时 含有逻辑联结词的命题的真假判断 p q 非p p或q p且q 真真假真真 真假假真假 假真真真假 假假真假假 1新命题“p且q”的真假概括为:同真为真,有假为假; 2新命题“p或q”的真假概括为:同假为假,有真为真
3、; 3新命题綈p与命题p的真假相反 对应学生用书P12 利用逻辑联结词构造新命题 例 1 分别写出由下列命题构成的“p或q” “p且q” “綈p”形式的命题 (1)p: 6是自然数;q:6 是偶数 (2)p:菱形的对角线相等;q:菱形的对角线互相垂直 (3)p: 3是 9 的约数;q:3 是 18 的约数 思路点拨 先用逻辑联结词将两个简单命题连起来,再用数学语言综合叙述 精解详析 (1)p或q:6 是自然数或是偶数 p且q: 6 是自然数且是偶数 綈p:6 不是自然数 (2)p或q:菱形的对角线相等或互相垂直 p且q:菱形的对角线相等且互相垂直 綈p:菱形的对角线不相等 (3)p或q:3 是
4、 9 的约数或是18 的约数 p且q: 3 是 9 的约数且是18 的约数 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 綈p:3 不是 9 的约数 一点通 用逻辑联结词“且” “或” “非”构造新命题时,关键是正确理解这些词语的意义及在日 常生活中的同义词,有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形 1给出下列命题:2004 年 10 月 1 日是国庆节,又是中秋节;10 的倍数一定是5 的倍数;梯形不是矩形;方程x2 1的解是x 1.其中使用逻辑联结词的命题有( ) A 1个B2 个 C3 个D4 个 解析:中使用逻辑联结词 “且” ; 中没有使用逻辑联结词;中使用逻辑联结词 “
5、非”; 中使用逻辑联结词“或”,共有 3 个命题使用逻辑联结词,故选C. 答案: C 2在一次射击比赛中,甲、乙两位运动员各射击一次,设命题p: “甲的成绩超过9环” , 命题q: “乙的成绩超过8 环” ,则命题“p或(綈q)”表示 ( ) A甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8 环 B甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8 环 C甲的成绩超过9 环且乙的成绩超过8 环 D甲的成绩超过9 环且乙的成绩没有超过8 环 解析:綈q表示乙的成绩没有超过8 环,所以命题“p或(綈q)”表示甲的成绩超过9 环或乙的成绩没有超过8 环,故选B. 答案: B 3分别写出由下列命题构成的“p或q” “p且q”形式
6、的命题 (1)p:是无理数,q:e不是无理数; (2)p:方程x22x10 有两个相等的实数根, q:方程x22x10 两根的绝对值相等; (3)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和, q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角 解: (1)“p或q” :是无理数或 e 不是无理数; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 “p且q” :是无理数且 e 不是无理数 (2)“p或q” :方程x22x10 有两个相等的实数根或两根的绝对值相等;“p且q” : 方程x22x10 有两个相等的实数根且两根的绝对值相等 (3)“p或q” :三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不
7、相邻的任何 一个内角;“p且q” :三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任 何一个内角 4判断下列命题的构成形式,若含有逻辑联结词“且”“或” “非”,请指出其中的p, q. (1)菱形的对角线互相垂直平分; (2)2 是 4 和 6 的约数; (3)x1 不是不等式x25x 60 的解 解: (1)是“p且q”形式的命题其中p:菱形的对角线互相垂直q:菱形的对角线互 相平分 (2)是“p且q”形式的命题,其中p:2 是 4的约数;q:2是 6 的约数 (3)是“綈p”形式的命题,其中p:x1 是不等式x25x60 的解 含逻辑联结词的命题的真假判断 例 2 指出下列命题
8、中的“p或q” “p且q” “非p”形式命题的真假 (1)p: 3是 13的约数,q:3 是方程x24x30 的解; (2)p:x2 11,q: 34; (3)p:四边形的一组对边平行,q:四边形的一组对边相等; (4)p: 11,2 ,q:11,2 思路点拨 要正确判断含有逻辑联结词的命题的真假,首先要确定命题的构成形式, 再根据p,q的真假判断命题的真假 精解详析 (1)因为p假q真,所以“p或q”为真,“p且q”为假,“非p”为真; (2)因为p真q假,所以“p或q”为真,“p且q”为假,“非p”为假; (3)因为p假q假,所以“p或q”为假,“p且q”为假,“非p”为真; (4)因为p
9、真q真,所以“p或q”为真,“p且q”为真,“非p”为假 一点通 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 判断含逻辑联结词的命题真假的步骤: (1)确定命题的形式; (2)判断构成该命题的两个命题的真假; (3)根据“p或q” “p且q” “綈p”的真假性与命题p,q的真假性的关系作出判断 5若綈p或q是假命题,则( ) Ap且q是假命题Bp或q是假命题 Cp是假命题D綈q是假命题 解析: 由于綈p或q是假命题, 则綈p与q均是假命题, 所以p是真命题, 綈q是真命 题,所以p且q是假命题,p或q是真命题,故选A. 答案: A 6设命题p:函数ycos 2x 12 的最小正周期为2;命题q:
10、函数y tan x的图像关 于直线x 3 2 对称,则 ( ) Ap为真B綈q为假 Cp且q为真Dp或q为假 解析:函数ycos 2x 12 的最小正周期T 2 2 ,所以p为假命题;函数ytan x的 图像不是轴对称图形,不存在对称轴,所以q为假命题,所以綈q为真,p且q为假,p或 q为假,故选D. 答案: D 含逻辑联结词的命题真假的应用 例 3 已知p:方程x2mx10 有两个不等的负实根;q:方程 4x2 4(m2)x1 0 无实根,若“p或q”为真,“p且q”为假,求m的取值范围 思路点拨 “p或q”为真, “p且q”为假,则p,q中必一真一假;可分p真q假,p 假q真两种情况处理
11、精解详析 由题意知,p:方程x2mx 10 有两个不等的负实根, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则p为真时, m 240, m2. q:方程 4x24(m2)x1 0无实根, 则q为真时,16(m2)2442, m1或m3, m3. 若p假q真,则 m2, 12”是“x23x20”的充分不 必要条件,下列结论: 命题“p且q”是真命题;命题“p或綈q”是假命题;命题“綈p或q”是真命 题;命题“綈p或綈q”是假命题 上述结论中,正确结论的序号是_ 解析:p真,q真,p且q真,p或綈q真,綈p或q真,綈p或綈q假 答案: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 三、解答题 (本大题
12、共4小题,共50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 ) 15(本小题满分12 分)设集合Ax|x23x20,Bx|ax1 “xB”是“xA” 的充分不必要条件,试求满足条件的实数a组成的集合 解:Ax|x2 3x20 1,2 ,由于“xB”是“xA”的充分不必要条件, BA. 当B? 时,得a0; 当B? 时,则当B1 时,得a1; 当B2 时,得a 1 2. 综上所述:实数a组成的集合是 0, 1 2 ,1. 16(本小题满分12分 )分别写出由下列各组命题构成的“p或q” “p且q” “綈p”形式 的新命题,并判断真假 (1)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线
13、互相平分 (2)p:方程x2160 的两根的符号不同;q:方程x2160 的两根的绝对值相等 解: (1)p或q:平行四边形的对角线相等或互相平分 p且q:平行四边形的对角线相等且互相平分, 綈p:平行四边形的对角线不一定相等 由于p假q真,所以“p或q”真,“p且q”假, “綈p”真 (2)p或q:方程x2160 的两根的符号不同或绝对值相等 p且q:方程x2160 的两根的符号不同且绝对值相等 綈p:方程x216 0的两根的符号相同 由于p真q真,所以“p或q” , “p且q”为真,“綈p”为假 17(本小题满分12分 )已知方程x2(2k1)xk20,求使方程有两个大于1 的实根的 充要条件 解:令f(x)x2(2k 1)xk2.方程有两个大于1 的实根就是函数f(x)与x轴的两个交点 都位于 (1, )内, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即 0, 2k1 2 1, f10 ? 2k1 2 4k20, 2k10 ?k0 恒成立;q:关于x的 方程x2xa0 有实数根如果“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,求实数a的取值 范围 解:若对任意实数x都有ax 2ax 10 恒成立, 则“a 0”或“a0 且a 24a 1 4, 解得a0 或 1 4 a4. 所以实数a的取值范围是() , 0 1 4,4 .
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