高中数学第一章1.5.3微积分基本定理教学案苏教版选修1.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 15.3 微积分基本定理 对应学生用书P28 已知函数f(x)2x1,F(x)x2x. 问题 1:f(x) 和F(x)有何关系? 提示:F(x)f(x) 问题 2:利用定积分的几何意义求 20(2x1)dx 的值 提示: 20(2x1)dx 6. 问题 3:求F(2)F(0)的值 提示:F(2)F(0)426. 问题 4:你得出什么结论? 提示: 20f(x)dx F(2)F(0),且F(x)f(x) 问题 5:已知f(x)x3,F(x) 1 4x 4,试探究 10f (x)dx与F(1)F(0)的关系 提示:因 10f(x)dx10x3dx 1 4
2、 .F(1)F(0) 1 4,有 10f(x)F(1) F(0)且F(x)f(x) 微积分基本定理 对于被积函数f(x),如果F(x)f(x),那么 ba f(x)dxF(b)F(a),即 baF(x)dx F(b) F(a) 1微积分基本定理表明,计算定积分 a b f(x)dx的关键是找到满足F(x)f(x)的函数 F(x)通常,我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出 F(x) 2微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系,最重要的是它也提供了计算 定积分的一种有效方法 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对应学生用书P29 求简单函数的定积分 例
3、1 求下列定积分: (1) 21(x22x3)dx; (2) 0(sin xcos x)dx; (3) 0 (cos x e x)dx. 思路点拨 先求被积函数的原函数,然后利用微积分基本定理求解 精解详析 (1)取F(x) x3 3 x 2 3x, 则F(x)x22x3, 从而 1 2 (x22x3)dx 1 2 F(x)dxF(2)F(1) 25 3 . (2)取F(x) cos xsin x, 则F(x)sin xcos x, 从而 0 (sin xcos x)dx 0 F (x)dxF( )F(0)2. (3)取F(x)sin xe x,则 F (x)cos xex, 从而 0 (co
4、s x e x)dx 0 F(x)dxF(0)F( ) 1 e 1. 一点通 求简单的定积分关键注意两点: (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积函数的原函数,当原函数 不易求时,可将被积函数适当变形后再求解; (2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限 1(江西高考改编 )若f(x)x22 0 1 f(x)dx,则 0 1 f(x)dx_. 解析:f(x)x22 0 1 f(x)dx, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 0 1 f(x)dx 1 3x 32x 0 1 fxdx 1 0 1 32 0 1 f(x)dx. 0 1 f(x)dx 1 3. 答案: 1
5、3 2. 0 (cos x1)dx _. 解析: (sin xx) cos x1, 0(cos x1)dx(sin x x)| 0 (sin ) (sin 00) . 答案: 3求下列定积分: (1) 2 0sin 2x 2dx;(2) 2 3 (2x2)(3x)dx. 解: (1)sin 2x 2 1 2 cos x 2 , 而 1 2x 1 2sin x 1 2 1 2 cos x, 所以 2 0sin 2x 2dx 2 0 1 2 1 2 cos xdx 1 2x 1 2sin x | 2 0 4 1 2 2 4 . (2)原式 32(62x3x2 x3)dx 6xx 2 x3 1 4x
6、 4 | 3 2 63 32 3 31 4 34 622 2231 4 24 7 4. 求分段函数的定积分 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 例 2 (1)设f(x) x 2,x0, cos x1,x0. 求 11f(x)dx; (2)求 aa x2dx(a0) 思路点拨 按照函数f(x)的分段标准,求出每一段上的积分,然后求和 精解详析 (1) 1 1f(x)dx01x2dx 0 1 (cos x1)dx 1 3x 3| 0 1(sin xx)| 1 0sin 1 2 3. (2)由x2 x,x0, x,x0, 若曲线yx与直线xa,y 0 所围成封闭图形的面积为a 2, 则 a_.
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