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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 6.1 垂直关系的判定 1.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义.(重点 ) 2.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理,并能灵活应用判定定理证明直线 与平面垂直、平面与平面垂直.(重点、难点 ) 3.了解二面角、二面角的平面角的概念,会求简单的二面角的大小.(重点、易错点) 基础初探 教材整理 1 直线与平面垂直的概念及判定定理 阅读教材 P36P37“练习 1”以上部分,完成下列问题. 1.定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平 面垂直 . 2.画法:通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横
2、边垂直,如图1-6-1. 图 1-6-1 3.直线与平面垂直的判定定理: 文字语言 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此 平面垂直 图形语言 符号语言 若直线a平面,直线b平面,直线la,lb,abA,则l 平面 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 判断 (正确的打“” ,错误的打“”) (1)如果一条直线和一个平面内的两条平行直线都垂直,则该直线与此平面垂直.( ) (2)一条直线和一个平面内的所有直线垂直,则该直线与该平面垂直.( ) (3)一条直线和一个平面内的无数条直线垂直,则该直线与该平面垂直.( ) (4)若直线l不垂直于平面,则内不存在直线垂直于直线
3、l.( ) 【答案】(1)(2)(3)(4) 教材整理 2 二面角 阅读教材 P37“练习 1”以下至倒数第4 行部分,完成下列问题. 1.二面角的概念: (1)半平面:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作 半平面 . (2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二 面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面. (3)二面角的记法:以直线AB为棱、半平面,为面的二面角,记作二面角-AB-. 2.二面角的平面角: 文字语言 以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两 条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 图形语言 符
4、号语言 若l,OA,OB,且OAl,OBl,则AOB为二面角 -l-的平面角 取值范围0180 直二面角平面角是直角的二面角叫作直二面角 如图 1-6-2,正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1-AB- C的大小为 _. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 图 1-6-2 【解析】ABBC,ABBC1, C1BC为二面角C1-AB-C的平面角, 其大小为45. 【答案】45 教材整理 3 平面与平面垂直 阅读教材 P37倒数第 4 行至 P38“例 1”以上部分,完成下列问题. 1.平面与平面垂直: 定义两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,
5、就说这两个平面互相垂直 画法 把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形 的横边垂直 (如图 ) 记法 2.平面与平面垂直的判定定理: 文字 语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂 直 符号语言若直线AB平面,AB平面,则 空间四边形ABCD中,若ADBC,BDAD,那么有 ( ) A.平面ABC平面ADC B.平面ABC平面ADB C.平面ABC平面DBC D.平面ADC平面DBC 【解析】ADBC,ADBD,BCBDB, AD平面BCD. 又AD平面ADC,平面ADC平面DBC. 【答案】D 小组合作型 线面垂直的判定 积一时之跬步臻千里之遥程
6、 马鸣风萧萧整理 如图 1-6-3,正方体ABCD-A1B1C1D1中. 图 1-6-3 (1)求证:AC平面B1D1DB; (2)求证:BD1平面ACB1. 【导学号: 39292035】 【精彩点拨】证明线面垂直,只需证明直线与平面内的两条相 交直线垂直 . 【自主解答】(1)BB1平面ABCD,且AC平面ABCD, BB1AC. 又ACBD,BDBB1B, AC平面B1D1DB. (2)连接A1B. 由(1)知AC平面B1D1DB, BD1平面B1D1DB,ACBD1. A1D1平面A1B1BA,AB1平面A1B1BA, A1D1AB1. 又A1BAB1且A1BA1D1A1, AB1平面
7、A1D1B. BD1平面A1D1B,BD1AB1, 又ACAB1A,BD1平面ACB1. 1.直线与平面垂直的判定(或证明 )常用的方法是线面垂直的判定定理,要注意定理中的 两个关键条件:面内的两条相交直线;都垂直. 2.要证明线面垂直,先证线线垂直,而证线线垂直,通常又借助线面垂直,它们是相互 转化的 . 再练一题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.如图 1-6-4,RtABC所在平面外有一点S,且SASBSC,点D为斜边AC的中点 . 图 1-6-4 (1)求证:SD平面ABC; (2)若ABBC,求证:BD平面SAC. 【证明】(1)SASC,D为AC的中点,SDAC. 在
8、RtABC中,ADDCBD. 又SBSA,ADSBDS. SDBD.又ACBDD,SD平面ABC. (2)BABC,D为AC中点,BDAC. 又由 (1)知SD平面ABC,SDBD. 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线, BD平面SAC. 面面垂直的判定 如图 1-6-5 所示,ABC为正三角形,EC平面ABC,BDCE, 且CECA2BD,M是EA的中点 . 图 1-6-5 求证: (1)DEDA; (2)平面BDM平面ECA. 【精彩点拨】(1)解答本题,只要证明三角形全等.(2)注意M为EA的中点,可取CA 的中点N,证明平面ECA的垂线在平面BDM内 . 【自主解答】(1)如图所
9、示,取EC的中点F,连接DF. EC平面ABC, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ECBC, 又由已知,易得DFBC, DFEC. 在 RtEFD和 RtDBA中,EF 1 2EC BD, 且由已知,易得FDBCAB, RtDFERtABD,故EDDA. (2)取CA的中点N,连接MN,BN, 则MN 1 2EC,又 BD 1 2CE, MNBD,N点在平面BDM内, EC平面ABC,ECBN, 又CABN,CAECC, BN平面ECA,又BN在平面MBD内, 平面BDM平面ECA. 证明面面垂直的方法: (1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角; (2)判定定理法:在其
10、中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为 “线面垂直” ; (3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面. 再练一题 2.如图 1-6-6,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,点E在棱PB上.求 证:平面AEC平面PDB. 图 1-6-6 【证明】ACBD,ACPD,PD,BD为平面PDB内两条相交直线, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AC平面PDB. 又AC平面AEC, 平面AEC平面PDB. 探究共研型 二面角 探究 1 如图 1-6-7 所示,在三棱锥S-ABC中,SBC,ABC都是等边三角形,请根 据二面角的平面
11、角的定义作出二面角S-BC-A的平面角,并说明理由. 图 1-6-7 【提示】取BC的中点O,连接SO,AO, 因为ABAC,O是BC的中点,所以AOBC. 同理可证SOBC,所以SOA是二面角S-BC-A的平面角 . 探究 2 在上述问题中,若BC1,SA 3 2 ,请计算二面角S-BC-A的大小 . 【提示】在AOB中,AOB90,ABO 60,AB1,所以AO1sin 60 3 2 . 同理可求SO 3 2 . 又SA 3 2 ,所以SOA是等边三角形, 所以SOA60,所以二面角S-BC-A的大小为 60. 已知D,E分别是正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点,且A1
12、D2B1E B1C1.求过D,E,C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小. 【精彩点拨】先确定过D,E,C1三点的平面,再根据二面角的定义确定好二面角, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 然后求值 . 【自主解答】如图所示,在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F, 则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点 .于是C1F为这两个平面的交线. 因而,所求二面角即为二面角D-C1F-A1. A1DB1E,且A1D2B1E, E,B1分别为DF和A1F的中点 . A1B1B1C1A1C1B1F, FC1A1C1. 又CC1平面A1B1C1,FC1平面A1B1C1,
13、CC1FC1. 又A1C1,CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线, FC1平面AA1C1C. DC1平面AA1C1C,FC1DC1. DC1A1是二面角D-C1F-A1的平面角, 由已知,A1DA1C1,则DC1A145, 故所求二面角的大小为45 . 1.求二面角大小的关键是先找出或作出平面角,再把平面角放在三角形中,最后利用解 三角形得到平面角的大小或三角函数值,其步骤为:作角证明计算. 2.要在适当位置作出二面角的平面角,就要注意观察二面角两个面的特点,如是否为等 腰三角形等 . 再练一题 3.已知正四棱锥的高为3,底面对角线的长为26,求侧面与底面所成的二面角. 【解】设正四棱锥为
14、S-ABCD,如图所示,底面边长为a, 则 2a 2 (2 6)2, a 212. 设O为S在底面上的射影,则SO3,作OECD于E,连接SE, 可知SECD,SEO即为所求二面角的平面角. SO3,a 212, SE23,SEO60. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 侧面与底面所成的二面角的大小为60. 1.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是 ( ) A.平行B.垂直 C.相交D.不确定 【解析】由题意可知, 该直线垂直于三角形所确定的平面,故这条直线和三角形的第 三边也垂直 . 【答案】B 2.对于直线m,n和平面,能得出的
15、一个条件是( ) A.mn,m,nB.mn,m,n C.mn,n,mD.mn,m,n 【解析】n,mn,m,又m,由面面垂直的判定定理,. 【答案】C 3.如图 1-6-8,在三棱锥D-ABC中,若ABBC,ADCD,E是AC的中点,则平面 ADC与平面BDE的位置关系是 _. 图 1-6-8 【解析】ABBC,ADCD,E是AC的中点,BEAC,DEAC,AC平 面BDE, 又AC平面ADC,平面ADC平面BDE. 【答案】垂直 4.如图 1-6-9 所示, 在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC90,则二面角B-PA -C的大小为 _. 【导学号: 39292036】 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 图 1-6-9 【解析】PA平面ABC,BA,CA平面ABC,BAPA,CAPA,因此, BAC即为二面角B-PA-C的平面角 .又BAC90,故二面角B-PA-C的大小为90. 【答案】90 5.如图 1-6-10,AB是O的直径,PA垂直于O所在的平面,C是圆周上异于A、B 的任意一点,求证:平面PAC平面PBC. 图 1-6-10 【证明】因为AB是直径,则BCAC, 又PA平面ABC,BC平面ABC, PABC,而PAACA, BC平面PAC, 又BC平面PBC, 平面PAC平面PBC.
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